解釋一下藍書上的做法
按照數學歸納法證明這個貪心，假設當前在第\(i\)行，前面已經選出\(i-1\)個線性無關的向量了（非零行），那麼對於這一行，如果最終的結果不選\(z[k]\)，而是選了另一個\(z[l]\)，那麼最終的向量組加入\(z[k]\)後就線性相關了，\(z[k]\)可以被這個向量組唯一表示；如果這個向量組去除了\(z[l]\)，那麼剩下的向量還是線性無關的，如果加入\(z[k]\)變成了線性相關，那麼\(z[k]\)也可以被這個向量組唯一表示，而且這種表示方法不含\(z[l]\)，也就是說前面那種表示方法也不含\(z[l]\)（因為表示方法唯一）；然而對行向量組進行初等行變換，每一個時刻任何一個行向量\(α\)都可以看做最開始的所有行向量的線性組合（而且\(α\)的係數一定不為\(0\)），而我們選取了\(z[l]\)後，會對\(z[k]\)進行消元，所以\(z[k]\)的線性表示包含\(z[l]\)，矛盾，也就是說刪除\(z[l]\)加入\(z[k]\)的向量組仍然線性無關，是一個花費更低的極大無關組
然後講一下我的做法，不按照行向量考慮而是按照列向量考慮，將所有的\(z\)全部變成列向量然後進行初等行變換
我們先不管\(z\)的順序，直接進行初等行變換，最後化出來一個行簡化梯形矩陣，很顯然的一個極大無關組就是每個非零行的第一個非零元所在的列（也就是非自由元所在的列）
於是一個很自然的想法就是我們先將所有\(z\)按照花費從小到大排序，然後進行初等行變換，最後按照上述的方法選擇就是最優的方案
證明：最終的向量組一定包含花費最低的向量，否則的話花費最低的向量可以被極大無關組表出，而且係數不全為\(0\)，於是極大無關組的某個向量就可以被替換為這個花費最低的向量；然後利用數學歸納法，假設我們現在的行簡化梯形矩陣長成這個樣子
現在在考慮第\(j\)列
如果第\(j\)列元素全為\(0\)了（指梯形下面的元素），那麼這個列向量肯定不選，因為已經可以被前面選擇的向量表出了（注意初等行變換不改變列向量之間的線性關係）；否則的話，這個向量一定要選，可以利用上面類似的反證法證明