提起RSA大家一定不陌生，在開發中經常使用，也經常聽同事說道。
前奏
對稱加密
話說很久以前，人們就懂的了加密這個技術。在戰爭時期，間諜就會拿著 密文 和 密匙 來對資訊就行傳遞。
這種簡單的 密文 + 密匙（key） 就是 對稱加密
加密: 明文 + 密匙
解密: 密文 + 密匙
非對稱加密
由於這種加密方式過於簡單，所以後來引入了數學演算法。
RSA 就是由特殊的數學演算法構成的，也是非對稱加密演算法。非對稱加密需要兩個金鑰：公鑰（public key） + 私鑰（private key）
用公鑰加密，私鑰解密
私鑰加密，公鑰解密
相關數學原理
尤拉定理
如果兩個正整數m和n互質，那麼m的φ(n)次方減去1，可以被n整除。
一下是幾種情況
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定理0 算術函式f如果滿足對於任意兩個互質的正整數m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就稱f為積性函式（或乘性函式）。
如果對於任意兩個正整數m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就稱為完全積性函式。 -
定理1 對於素數p，ϕ(p)=p−1。
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定理2 ϕ(pn)=pn−pn−1，因為素數冪pn不互質的只有p的倍數，一共有pn/p=pn−1個。
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定理3 若m、n互質，ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)，所以尤拉函式是積性函式。
因為mn互質NN，和m互質的數乘上和n互質的數就會和mn互質。 -
定理4 設n=p1a1p2a2…pkak為正整數n的素數冪分解，那麼ϕ(n)=n(1−1/p1)(1−1/p2)…(1−1/pk)。
由定理2，ϕ(pn)=pn−pn−1=pn (1-1/p)，又由定理3，ϕ(n)=p1a1p2a2…pkak(1−1/p1)(1−1/p2)…(1−1/pk)=n(1−1/p1)(1−1/p2)…(1−1/pk)
例如：
ϕ(8) = ϕ(2^3) = 2^3 - 2^(2-1) = 8 - 4 = 4
ϕ(15) = ϕ(3) * ϕ(5) = 2 * 4 = 8
複製程式碼費馬小定律
尤拉定理的特殊情況：如果兩個正整數m和n互質，而且n為質數！那麼φ(n)結果就是n-1。
模反元素
如果兩個正整數e和x互質，那麼一定可以找到整數d，使得 ed-1 被x整除。
那麼d就是e對於x的“模反元素”
迪菲赫爾曼密匙交換原理
那麼，通過一系列的數學轉換，最終得出了RSA演算法
公鑰：e 和 n
私鑰：d 和 n
明文：m
密文：c
複製程式碼說明：
- n會非常大，長度一般為1024個二進位制位。（目前人類已經分解的最大整數，232個十進位制位，768個二進位制位）
- 由於需要求出φ(n)，所以根據歐函式特點，最簡單的方式n 由兩個質數相乘得到: 質數：p1、p2
Φ(n) = (p1 -1) * (p2 – 1) - 最終由φ(n)得到e 和 d 。
總共生成6個數字：p1、p2、n、φ(n)、e、d
關於RSA的安全：
除了公鑰用到了n和e 其餘的4個數字是不公開的。
目前破解RSA得到d的方式如下：
- 要想求出私鑰 d 。由於e*d = φ(n)*k + 1。要知道e和φ(n);
- e是知道的，但是要得到 φ(n)，必須知道p1 和 p2。
- 由於 n=p1*p2。只有將n因數分解才能算出。
那麼RSA有優點和弊端是什麼了？
優點
- 相對安全
缺點
- 速度慢，耗時（因為，起內部原理是一系列的數學計算）
- 加密資料量小