統計原理 平均數

在統計學中，算術平均數和調和平均數都是常用的描述資料集中趨勢的指標，但它們的計算方法和解釋有所不同。

1. 算術平均數：算術平均數是一組資料中所有數值的總和除以資料的個數。它是最常見的平均數型別，用於表示資料的集中趨勢。算術平均數對資料中所有值進行等權重的考慮，不考慮各個值之間的差異。

   舉例來說，假設有一個班級的考試成績：{80, 85, 90, 95, 100}。計算算術平均數的方法是將所有成績相加，然後除以成績的個數，即 (80 + 85 + 90 + 95 + 100) / 5 = 90。這意味著班級的平均成績是90分。

2. 調和平均數：調和平均數是一組資料中各個數值的倒數的平均值的倒數。調和平均數主要用於表示比率和頻率的平均值，特別是在處理速度、比例和頻率等方面。

   以速度為例，如果一個物體在一段時間內以不同的速度運動，那麼整段時間的平均速度應該是所有速度的調和平均數。調和平均數可以被定義為總體中各部分的倒數的平均值的倒數。

   舉例來說，假設一個人以30km/h的速度前進了一段時間，然後以60km/h的速度前進了同樣的時間。他的平均速度是多少？這時我們計算調和平均數：2 / ((1 / 30) + (1 / 60)) = 2 / (1/30 + 1/60) = 40km/h。這意味著他的平均速度是40km/h。

區別：

• 算術平均數對資料中所有值都平等對待，而調和平均數對數值的倒數進行平均，因此更加受到較小數值的影響。
• 當處理速度、頻率或其他與比率相關的資料時，調和平均數更為合適，因為它考慮了倒數的影響，而算術平均數可能會導致高數值對結果的主導作用。

幾何平均數是一組正數的乘積的n次根，其中n是數值的個數。它主要用於處理比例和增長率，尤其適用於計算複合增長率或利率。下面是一個舉例說明：

假設有一項投資，每年的收益率如下：

• 第一年：5%
• 第二年：10%
• 第三年：15%
• 第四年：20%

要計算這四年的平均年收益率，可以使用幾何平均數。首先，將每年的收益率轉換為1加上百分比的小數形式：

• 第一年：1 + 0.05 = 1.05
• 第二年：1 + 0.10 = 1.10
• 第三年：1 + 0.15 = 1.15
• 第四年：1 + 0.20 = 1.20

然後，將這些轉換後的數值相乘： 1.05 × 1.10 × 1.15 × 1.20 ≈ 1.6823

最後，計算四年的平均年收益率的幾何平均數，即這四個數值的乘積的四次根： (1.05 × 1.10 × 1.15 × 1.20)^(1/4) ≈ 1.1372

所以，這項投資的四年平均年收益率約為13.72%。這個數字表示了四年間投資的平均增長率。

加權平均數是一組數值的平均值，其中每個數值的貢獻被乘以其相應的權重，然後再求和。權重可以是任何正數，通常代表了每個數值在整體平均值中的相對重要性。舉個例子：

假設一個學生在一學期內有三門課程的成績，每門課程的學分數（權重）不同。這三門課程分別是：

1. 數學（4個學分）：85分
2. 英語（3個學分）：90分
3. 物理（2個學分）：80分

要計算學生這學期的加權平均成績，首先需要將每門課程的成績乘以其對應的權重，然後將這些乘積相加，最後除以總的權重數。

計算過程如下： $(85\times 4)+(90\times 3)+(80\times 2)=340+270+160=770$

總的權重數為 $4+3+2=9$。

所以，學生這學期的加權平均成績為 7709≈85.569770​≈85.56 分。

這個加權平均成績考慮了每門課程的學分數，因此更加準確地反映了學生整體的表現。

調和平均數是各個標誌值倒數的算術
平均數的倒數，所以又稱倒數平均數。