兄弟數字；及修理柵欄分析

今日面試題：兄弟數字

給定一個數X，他的兄弟數Y定義為：是由X中的數字組合而成，並且Y是大於X的數中最小的。例如，38276的兄弟數字為38627。給定X，求Y。

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修理柵欄

分析

原題為了修理柵欄，需要將很長的木板鋸為N塊，長度分別為L1,L2...LN。鋸斷一塊兒木板，需要一定的開銷，開銷記為木板的長度。例如，長度為21的木板，鋸為三塊，長度分別為5，8，8。如下按照如下的順序據斷：

首先鋸斷21為13和8兩塊兒，開銷為21


然後鋸斷13為8和5兩塊兒，開銷為13

總的開銷為34。但也可以按照如下的順序：

首先鋸斷21為16和5兩塊兒，開銷為21


然後鋸斷16為8和8兩塊兒，開銷為16

總的開銷為37。比34要大。

問題是，給定N，以及每一塊兒的長度。如何保證最小的開銷。儘量採用高效的方法。

分析

這個題目，要如何分析？這切鋸成N塊的方法太多了。如何入手呢？其實，題目中的兩個例子，都可以表明，我們可以將切割的過程用二叉樹表示：

以及

根據上面兩棵二叉樹，得到開銷的計算方法：

第一棵樹，開銷34 = 8 * 2 + 5 * 2 + 8 * 1 = 34

第二顆樹，開銷37 = 8 * 2 + 8 * 2 + 5 * 1 = 37

也就是所有的葉子節點的長度乘以深度。葉子節點，就是各個木塊兒的長度。從上面的式子，我們可以得出，要想開銷最小，樹的高度是不變的，那就一定要越短的木板，深度越深，即可。而且，因為一次鋸開，肯定是兩塊兒，所以，要保證整個開銷最小，則最短的和次短的木板一定是兄弟，這樣，可以遞迴使得，父親節點的開銷也是最小的。

這樣，求的最小開銷就很簡單了，去最短和次短木板，加起來，得到一個開銷，假設L1是最短的，L2是次短的。則遞迴處理(L1+L2)以及剩下的木板即可。這個複雜度是O(N^2)的。

那麼是否有更高效的方法呢？上面的方法，是從底向上計算的。鋸的時候，如何做呢？從最長的開始，每次都把最長的鋸掉。這樣排序O(NlogN)。從最大的開始鋸。解決。

還有呢？前面的方法，在取最短的時候，可以採用優先順序佇列。整個事件複雜度為O(NlogN)，不過空間就是O(N)了。

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-08-19釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。