第二十三節決策樹系列之特點和數學表達形式(2)
上節我們講解了決策樹的概念，本節的話我們講解決策樹的特點以及其數學表達形式。
目錄
1-決策樹的特點
決策樹的特點大致有以下幾種：
1、可以處理非線性問題。邏輯迴歸處理非線性問題有一些捉襟見肘，沒有特別完善的方法能解決，我們有若干種妥協的方法來讓它湊合能用，而決策樹天生就可以處理非線性問題。假設在一個二維的平面上，有若干資料如圖：
每一個資料有兩個維度，x1和x2。總共9個資料點。如果我們想用邏輯迴歸來分類，無論怎麼分，都找不到一條很好地直線將圖中點分開。假設我們用決策樹分裂的話，第一次分裂選擇條件是x＜3，相當於畫一條豎線，所有x＜3的都分到左邊，x＞3分到右邊。
分到左邊的都是O點，分到右邊的有一半是O點一半是X點，給它落成一個葉子節點不太合適，就需要再次分裂，再選擇分裂條件是x＜6，就將資料完美的分開了。我們的決策樹的分裂圖如圖所示：
原來邏輯迴歸處理不了的非線性問題，決策樹輕而易舉的就把它們分開了。
再比如下圖：
資料點如圖，想把藍色，紅色的資料點分開，同樣的線性不可分，而決策樹卻可以會畫出一個波浪線，把資料分開，相當於每一個折點部分就多出分裂一個條件。所以說通過決策樹不斷分裂的方式，可以處理各種各樣的非線性問題。
2、可解釋性強。從資料集上抓到一個演算法，生成出來一個模型，邏輯迴歸模型的本質，記在計算機裡面的是一組w，訓練出來這個模型是個一組數，它沒有具體的物理含義。比如0.8和 0.7，怎麼解釋這兩個w到底差別在哪？說不太清，可解釋性差一些，機器到底學少什麼你不知道。而決策樹演算法，記錄下來的是一組分類條件，相比一組w來說，它的可解釋性是要強不少。
3、 決策樹的模型非常簡單。它不需要藉助函式最優化工具，在原生的決策樹裡面是沒有損失函式這個概念的。決策樹其實特別像森林球，某一條資料順根節點、分支節點下來，最後落到某一個葉子節點上。它這個模型相對於梯度下降的訓練過程中是比較簡單的，預測就更簡單了，直接跑一遍if…else，最後該是誰就是誰。
4、缺點 不容易顯示地使用函式表達，不可微。可能帶來一個問題是不好給它加正則項，正則項是用來評估模型簡單程度的。原來的損失函式，給它加一個L1正則，組成了一個新的形式函式叫obj，原本是讓L損失函式最小，現在要變成讓它們倆合obj最小。為什麼加上它效果就能好？在演算法模型裡邊是通過這L1和L2兩個指標來評估模型到底是簡單還是複雜的。如果有更簡單的方式能得到更好的模型，當然要優先簡單的，因為複雜模型容易過擬合，這也就是正則存在的意義。但是決策樹很難加這種正規表示式。
2-決策樹的數學表達形式
決策樹雖然不容易顯示地使用函式表達，非得要表達的話，我們有兩種方式表達。
第一種是從路徑的角度（Path View），將每個從根到葉子的路徑作為一個假設 g，通過不同的條件組合得到最後的 G (X)。
第二種是從遞迴的角度（Recursive View），父樹是由子樹遞迴定義的 tree=(root,sub-trees)。
1、我們先說第一種從路徑的角度：表達如下：
上面G(x)是一個函式，對於函式我們永遠就把它理解成一個機器，你給我一個原材料，我給你生產一個東西。所以這裡面的G(x)也不例外，對於決策樹來說一般是做分類的，所以我們可以想到這個函式G(x)其實就代表著你給我一個X，我給你一個分類結果。所以G代表著這棵已經生成好的決策樹，X代表著扔進去的一個原資料。而函式後面的表示式代表我這個機器如何工作的，如何從已知得到結果的，是表示式記錄的資訊。我們看到後面是個連加符號，給它拆解出來就是
這是什麼意思呢？比如下圖的決策樹，我把葉子節點編號如圖：
這裡面q代表所有決策樹的路徑，比如我們的X是qutitingtime<17:00 並且沒有約會，那麼在上述決策樹存在的情況下，這個資料會落到2號節點，能夠通往幾號節點的路徑就叫幾號路徑，所以X扔進來的情況下，會通往2號路徑，所以我們定義此時的X只有q(2)x=1，其他路徑都為0，即q(1)x=0,q(3)x=0...。所以我們qt是定義出來的，代表著x是不是在第t號路徑上，is x on path t。gt(x)代表某一號葉子節點的表達，比如這裡的X，落在2號節點上，所以表達為Y，也就是說以後甭管X是什麼樣，只要落在2號節點上，就寫成Y，因此qt(x).gt(x)就是代表來一條資料，先是通過qt(x)看看落在哪個葉子節點上，然後再通過gt(x)看看這個葉子結點的表達是什麼，我們就返回什麼（Y 或者N），簡直就是一個很無聊的表達，並且表達的很簡單。
上面公式表達的前提就是樹已經存在了，它的判別函式怎麼表達。所以還是針對上述落在2號節點的X，我們針對上面的決策樹把連加符號拆解出來就是:
因為只有2號節點的q2(x)=1，其他都為0。這裡面的點乘代表著對應關係，並不是真正的乘。T代表第幾號葉子結點即葉子節點的序號。gt(x)是一個base hyponthesis 基礎的假設，這裡就是假設我所有的葉子結點的表達的形式是Y還是N，是一個常數。因為這裡面gt(x)的值只有Y或者N。不是取決於X的輸入，而是取決於我當前落在第幾號節點，g(1)(x)就是N，g(2)X就是Y。所以總結如下：
我們通過下面舉例解釋下上面公式：
實際上上面是個遞迴的表達形式。比如對於根節點(qutting time )來說，有3個子節點，如圖所示。對於1號子節點的根(has a date)來說有兩個子節點 N或者Y。還是拿上面X是qutitingtime<17:00 並且沒有約會的例子來說，從根節點下來會落到1號子節點，這裡面的b(x)是分支的條件，這個例子中b(x)=1 ，C代表幾個子節點，而對於qutting time的根節點來說，有3個子節點，所以C=3。落在幾號節點上，只有當前子節點為1，其他都為0，所以對於這裡只有G1(x)=1。當落到1號節點之後，繼續往下走，同理接著遍歷，會落到1號子節點中的Y子節點上，同理對於 has a date 作為根節點來說，C=2，因為落在Y子節點上，此時是葉子結點，不在遍歷，所以向上依次返回最終結果Y。
總結如下：
下一節我們講解決策樹的分裂流程以及分裂條件的評估。