演算法學習-第一個缺失的正整數

題目

給定一個陣列A[0...N-1]，找到從1開始，第一個不再陣列中的正整數。

如3,5,1,2，-3,7,14,8輸出4。

分析

解法很多，如下：

1、可以暴力求解，從1遍歷到n，每次和陣列對比，找到第一個不在陣列中的，時間複雜度為O(N2)

2、可以優化一下演算法，先排序在進行2分查詢，時間複雜度為N*log（N）。

3、因為第一個缺失的正整數肯定小於等於N+1，所以可以申請N個空間，然後遍歷原陣列，將大於0，小於n的數在新申請的空間中對應的位置做標記，最後遍歷申請的空間，找到第一個不在申請空間中的資料，時間複雜度是O（N），空間複雜度是O（N）

4、將找到的元素放到正確位置上，如果最終發現某個元素一直沒有找到，則該元素即為所求。迴圈不變式：如果某命題初始為真，且每次更改後仍然保持該命題為真，則若干次更改後該命題仍然為真。

假定前i-1個數已經找到，並且一次存放在A[1,2,...,i-1]中，繼續考察A[i]:

若A[i]<i且A[i]>=1，則A[i]在A[1,2,...,i-1]中已經出現過，可以直接丟棄。若A[i]為負，則更應該丟棄它。

若A[i]>i且A[i]<=N,則A[i]應該置於後面的位置，即將A[A[i]]和A[i]交換。若A[i]>N,由於缺失資料>=N,則A[i]丟棄。若A[A[i]]=A[i]，顯然不比交換，直接丟棄A[i]即可。

若A[i]=i,則A[i]位於正確的位置上，則i加1，迴圈不變式擴大，繼續比較後面的元素。

演算法描述：

若A[i]=i,i加1，繼續比較後面的元素。

若A[i]<i或A[i]>N或A[A[i]]=A[i],丟棄A[i]

若A[i]>i,則將A[A[i]]和A[i]交換。

丟棄A[i]即將A[N]賦值給A[i],然後N減1.

下面給出第四種方法的程式碼

int FirstMissNumber(int* a, int size)
{
	a--;  // 從1開始
	int i = 1;
	while (i <= size)
	{
		if (a[i] == 1)
		{
			i++;
		}
		else if ((a[i] < i) || (a[i] > size) || (a[i] == a[a[i]]))
		{
			a[i] = a[size];
			size--;
		}
		else
		{
			int ntmp = a[a[i]];
			a[a[i]] = a[i];
			a[i] = ntmp;
		}
	}
	return i;
}