對於如何算 n 的階乘，只要你知道階乘的定義，我想你都知道怎麼算，但如果在面試中，面試官拋給你一道與階乘相關，看似簡單的演算法題，你還真不一定能夠給出優雅的答案！本文將分享幾道與階乘相關的案例，且難度遞增。
案例一
給定一個整數 N，那麼 N 的階乘 N! 末尾有多少個 0？例如： N = 10，則 N！= 3628800，那麼 N! 的末尾有兩個0。
有些人心想，這還不簡單，直接算出 N！的值，然後用除以 10 來判斷多少個 0 就可以了。
有些人則這樣想，直接算 N！的值再來除以 10 判斷多少個 0 的話肯定會出現溢位問題，於是開始思索：一個數乘以 10 就一定會在末尾產生一個零，於是，我們可以從“哪些數相乘能夠得到 10 ”入手。
沒錯，只有 2 * 5 才會產生 10。
注意，4 * 5 = 20 也能產生 0 啊，不過我們也可以把 20 進行分解啊，20 = 10 * 2。
於是，問題轉化為 N! 種能夠分解成多少對 25，再一步分析會發現，在 N！中能夠被 2 整除的數一定比能夠被 5 整除的數多，於是問題就轉化為求 1...n 這 n 個數中能夠被 5 整除的數有多少個，注意，像 25 能夠被 5整除兩次，所以25是能夠產生 2 對 2 5滴。有了這個思路，程式碼如下：
int f(int n){
int sum = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){
int j = i;
while(j % 5 == 0){
sum++;
j = j / 5;
}
}
return sum;
}有些人想出了這個規律，很是得意，然而，這還不是面試官要的答案，大家想一個問題，
當 N = 20 時，1~20 可以產生幾個 5 ？答是 4 個，此時有 N / 5 = 4。
當 N = 24 時，1~24 可以產生幾個 5 ？答是 4 個，此時有 N / 5 = 4。
當 N = 25 時，1~25 可以產生幾個 5？答是 6 個，主要是因為 25 貢獻了兩個 5，此時有 N / 5 + N / 5^2 = 6。
...
可以發現 產生 5 的個數為 sum = N/5 + N/5^2 + N/5^3+....
於是，最優雅的寫法應該是這樣：
int f(int n){
int sum = 0;
while(n! = 0){
sum += n / 5;
n = n / 5;
}
}這時，你就可以自信這把程式碼扔給面試官了。
案例2
求 N! 的二進位制表示中最低位 1 的位置。例如 3！=6，二進位制為 1010，所以 最低位 1 的位置在第二位。
沒有思路？請仔細想一下這道題與上道題的關係！
仔細想一下，這道題不也是求末尾有多少個 0 嗎？你求出了末尾有多少個0自然知道 1 的位置（0的個數加1就是1的位置了），只不過，這道題是求二進位制末尾有多少個 0。
由於是二進位制，所以每次乘以 2 末尾就會產生一個 0 。
於是，模仿上面一道題，求 N！含有多少個 2 的個數。心想，幸好我做個類似了，於是一波操作猛如虎，一分鐘就寫出了程式碼：
int f(int n){
int sum = 0;
while(n! = 0){
sum += n / 2;
n = n / 2;
}
}面試官：還能在優化嗎？
什麼鬼？還要在優化？我都 O(logn) 時間複雜度了。
還記得我之前講解了幾道有關位運算的嗎？這道題確實可以用位運算來優化，除以 n / 2 == n >> 1。不過位運算的速度快多了，於是，優化後的程式碼如下：
int f(int n){
int sum = 0;
while(n! = 0){
n >>= 1;
sum += n;
}
}還能在優化嗎？
可以，不過我先不講，因為我覺得，這已經夠快了。後面講其他題可能會把這道題再拿出來講。
如果你能寫出這樣的程式碼，已經算很牛逼了。
案例三
給你一個數 N，輸出 N! 的值。
沒錯，就是這麼簡單，直接讓你求階乘的值。
這個時候，你就要小心了，千萬別一波操作
long long sum = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++){
sum *= i;
}一個 for 迴圈，馬上搞定。
因為你不知道 n 的範圍，有可能你用 long long 也是會溢位的，所以這個時候應該要問一下面試官有沒有限定 n 的範圍。
面試官：沒有限定！
這下好了，這道階乘的題，難度頓時上升了，說實話，我敢保證大部分人還真沒去實現過。所以，今天我就帶大家來實現一下，以防以後真的被問到。結果最熟悉的題頓時不知道怎麼下手好。
這個時候，我們就必須用字串來存放所求的值的，在相乘的時候也是用字串來相乘，說白了，就是要會求兩個大整數相乘。
下面我們先來實現一個求兩個大整數相乘的函式。一種比較簡單的方法就是，像我們小學那會一樣，讓個位數與另一個數的其他數相乘，然後讓十位數與另一個的其他數相乘，最後在把他們進行相加。
實現程式碼如下：
public static String mul(String s1, String s2) {
// 先把字串轉化為 字元陣列。
char[] c1 = s1.toCharArray();
char[] c2 = s2.toCharArray();
int len = c1.length + c2.length;
// 用來存放兩個數的積,字元的初始值為 '\u0000'，也就是 0
char[] c = new char[len];
// 由於大整數的低位是在字串的末尾，所以我們從末尾遍歷來計算
for (int i = c1.length - 1; i >= 0; i--) {
int index = len - 1;
int res = 0;//用來存放進位
for (int j = c2.length - 1; j >= 0; j--) {
int temp = (c1[i]-'0') * (c2[j]-'0') + c[index] + res;
res = temp / 10;
c[index--] = (char)(temp % 10);
}
// 每趟乘下來的進位要進行儲存。
c[index] = (char)res;
len--;
}
// 最後把c中的字元加上 '0'
for (int i = 0; i < c.length; i++) {
c[i] += '0';
}
String s = new String(c);
// n位數乘以m位數得到積位 (m+n)位數或者(n+m-1)位數
// 我們只需要判斷c[0]是否為0，為0則把它捨棄。
if(c[0] == '0')
return s.substring(1);
else
return s;
}注意，一定要自己實現一遍，一定要自己實現一遍，因為原理簡單，但手動實現就不一定那麼簡單了，容易出現bug。
採用這種方法的話，兩個大整數相乘的時間複雜度為 O(n)，其實還有更快的方法，大概時間複雜度是 O(n^1.6)，不過程式碼有點小複雜，感興趣的可以閱讀這篇文章：漫畫：如何實現大整數相乘？,我這裡就不展開說了，不然單獨這個就可以另起一篇很長的文章了。
知道了兩個大整數相乘之後，我們再來算我們的階乘，就好做了，我們每次相乘的時候，只需要把它當作兩個大整數重複乘就可以了。程式碼如下：
// N 的階乘
public static String f(int n) {
String s = "1";
Integer t = null;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
t = i;
s = 大整數相乘.mul(s,t.toString());
}
return s;
}
// 大整數相乘
public static String mul(String s1, String s2) {
// 先把字串轉化為 字元陣列。
char[] c1 = s1.toCharArray();
char[] c2 = s2.toCharArray();
int len = c1.length + c2.length;
// 用來存放兩個數的積,字元的初始值為 '\u0000'，也就是 0
char[] c = new char[len];
// 由於大整數的低位是在字串的末尾，所以我們從末尾遍歷來計算
for (int i = c1.length - 1; i >= 0; i--) {
int index = len - 1;
int res = 0;//用來存放進位
for (int j = c2.length - 1; j >= 0; j--) {
int temp = (c1[i]-'0') * (c2[j]-'0') + c[index] + res;
res = temp / 10;
c[index--] = (char)(temp % 10);
}
// 每趟乘下來的進位要進行儲存。
c[index] = (char)res;
len--;
}
// 最後把c中的字元加上 '0'
for (int i = 0; i < c.length; i++) {
c[i] += '0';
}
String s = new String(c);
// n位數乘以m位數得到積位 (m+n)位數或者(n+m-1)位數
// 我們只需要判斷c[0]是否為0，為0則把它捨棄。
if(c[0] == '0')
return s.substring(1);
else
return s;
}
時間複雜度是 O(n^3)。如果要優化的話，主要是在大整數相乘這裡進行優化。
總結
是不是覺得，階乘也沒有那麼簡單了？這三道與階乘相關的題，應該是比較常見的題吧，今天跟大家分享一波，希望大家有時間的話，自己也用程式碼實現一下，特別是算 N!。後面會繼續跟大家分享一些我覺得不錯的演算法題，敬請關注。
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