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1.前言： 

動態查詢樹主要有：二叉查詢樹（Binary Search Tree），平衡二叉查詢樹（Balanced Binary Search Tree），紅黑樹(Red-Black Tree )，B-tree/B+-tree/ B*-tree (B~Tree)。前三者是典型的二叉查詢樹結構，其查詢的時間複雜度O(log2N)與樹的深度相關，那麼降低樹的深度自然會提高查詢效率。 

但是我們們有面對這樣一個實際問題：就是大規模資料儲存中，實現索引查詢這樣一個實際背景下，樹節點儲存的元素數量是有限的（如果元素數量非常多的話，查詢就退化成節點內部的線性查詢了），這樣導致二叉查詢樹結構由於樹的深度過大而造成磁碟I/O讀寫過於頻繁，進而導致查詢效率低下（為什麼會出現這種情況，待會在外部儲存器-磁碟中有所解釋），那麼如何減少樹的深度（當然是不能減少查詢的資料量），一個基本的想法就是：採用多叉樹結構（由於樹節點元素數量是有限的，自然該節點的子樹數量也就是有限的）。 

也就是說，因為磁碟的操作費時費資源，如果過於頻繁的多次查詢勢必效率低下。那麼如何提高效率，即如何避免磁碟過於頻繁的多次查詢呢？根據磁碟查詢存取的次數往往由樹的高度所決定，所以，只要我們通過某種較好的樹結構減少樹的結構儘量減少樹的高度，那麼是不是便能有效減少磁碟查詢存取的次數呢？那這種有效的樹結構是一種怎樣的樹呢？ 

這樣我們就提出了一個新的查詢樹結構——多路查詢樹。根據平衡二叉樹的啟發，自然就想到平衡多路查詢樹結構，也就是這篇文章所要闡述的第一個主題B~tree，即B樹結構(後面，我們將看到，B樹的各種操作能使B樹保持較低的高度，從而達到有效避免磁碟過於頻繁的查詢存取操作，從而有效提高查詢效率)。

 B-tree（B-tree樹即B樹，B即Balanced，平衡的意思）這棵神奇的樹是在Rudolf Bayer, Edward M. McCreight(1970)寫的一篇論文《Organization and Maintenance of Large Ordered Indices》中首次提出的（wikipedia中：http://en.wikipedia.org/wiki/B-tree，闡述了B-tree名字來源以及相關的開源地址）。 

在開始介紹B~tree之前，先了解下相關的硬體知識，才能很好的瞭解為什麼需要B~tree這種外存資料結構。 

2.外儲存器—磁碟 

計算機儲存裝置一般分為兩種：記憶體儲器(main memory)和外儲存器(external memory)。 記憶體存取速度快，但容量小，價格昂貴，而且不能長期儲存資料(在不通電情況下資料會消失)。 

外儲存器—磁碟是一種直接存取的儲存裝置(DASD)。它是以存取時間變化不大為特徵的。可以直接存取任何字元組，且容量大、速度較其它外存裝置更快。 

2.1 磁碟的構造 

磁碟是一個扁平的圓盤(與電唱機的唱片類似)。盤面上有許多稱為磁軌的圓圈，資料就記錄在這些磁軌上。磁碟可以是單片的，也可以是由若干碟片組成的盤組，每一碟片上有兩個面。如下圖11.3中所示的6片盤組為例，除去最頂端和最底端的外側面不儲存資料之外，一共有10個面可以用來儲存資訊。

當磁碟驅動器執行讀/寫功能時。碟片裝在一個主軸上，並繞主軸高速旋轉，當磁軌在讀/寫頭(又叫磁頭) 下通過時，就可以進行資料的讀 / 寫了。 

一般磁碟分為固定頭盤(磁頭固定)和活動頭盤。固定頭盤的每一個磁軌上都有獨立的磁頭，它是固定不動的，專門負責這一磁軌上資料的讀/寫。 

活動頭盤 (如上圖)的磁頭是可移動的。每一個盤面上只有一個磁頭(磁頭是雙向的，因此正反盤面都能讀寫)。它可以從該面的一個磁軌移動到另一個磁軌。所有磁頭都裝在同一個動臂上，因此不同盤面上的所有磁頭都是同時移動的(行動整齊劃一)。當碟片繞主軸旋轉的時候，磁頭與旋轉的碟片形成一個圓柱體。各個盤面上半徑相同的磁軌組成了一個圓柱面，我們稱為柱面 。因此，柱面的個數也就是盤面上的磁軌數。  

2.2磁碟的讀/寫原理和效率 

磁碟上資料必須用一個三維地址唯一標示：柱面號、盤面號、塊號(磁軌上的盤塊)。 

讀/寫磁碟上某一指定資料需要下面3個步驟： 

(1)  首先移動臂根據柱面號使磁頭移動到所需要的柱面上，這一過程被稱為定位或查詢 。 

(2)  如上圖11.3中所示的6盤組示意圖中，所有磁頭都定位到了10個盤面的10條磁軌上(磁頭都是雙向的)。這時根據盤面號來確定指定盤面上的磁軌。 

(3) 盤面確定以後，碟片開始旋轉，將指定塊號的磁軌段移動至磁頭下。 

經過上面三個步驟，指定資料的儲存位置就被找到。這時就可以開始讀/寫操作了。 

訪問某一具體資訊，由3部分時間組成： 

● 查詢時間(seek time) Ts: 完成上述步驟(1)所需要的時間。這部分時間代價最高，最大可達到0.1s左右。 

● 等待時間(latency time) Tl: 完成上述步驟(3)所需要的時間。由於碟片繞主軸旋轉速度很快，一般為7200轉/分(電腦硬碟的效能指標之一, 家用的普通硬碟的轉速一般有5400rpm(筆記本)、7200rpm幾種)。因此一般旋轉一圈大約0.0083s。

● 傳輸時間(transmission time) Tt: 資料通過系統匯流排傳送到記憶體的時間，一般傳輸一個位元組(byte)大概0.02us=2*10^(-8)s  

磁碟讀取資料是以盤塊(block)為基本單位的。位於同一盤塊中的所有資料都能被一次性全部讀取出來。而磁碟IO代價主要花費在查詢時間Ts上。因此我們應該儘量將相關資訊存放在同一盤塊，同一磁軌中。或者至少放在同一柱面或相鄰柱面上，以求在讀/寫資訊時儘量減少磁頭來回移動的次數，避免過多的查詢時間Ts。  

所以，在大規模資料儲存方面，大量資料儲存在外存磁碟中，而在外存磁碟中讀取/寫入塊(block)中某資料時，首先需要定位到磁碟中的某塊，如何有效地查詢磁碟中的資料，需要一種合理高效的外存資料結構，就是下面所要重點闡述的B-tree結構，以及相關的變種結構：B+-tree結構和B*-tree結構。 

3.B樹  

3.1 什麼是B樹 

具體講解之前，有一點，再次強調下：有的文章裡面出現的B-樹，即為B樹。因為B樹的原英文名稱為B-tree，而國內很多人喜歡把B-tree譯作B-樹，其實，這是個非常不好的直譯，很容易讓人產生誤解。如人們可能會以為B-樹是一種樹，而B樹又是一種一種樹。而事實上是，B-tree就是指的B樹。特此說明。 

我們知道，B樹是為了磁碟或其它儲存裝置而設計的一種多叉（下面你會看到，相對於二叉，B樹每個內結點有多個分支，即多叉）平衡查詢樹。與本blog之前介紹的紅黑樹很相似，但在降低磁碟I/0操作方面要更好一些。許多資料庫系統都一般使用B樹或者B樹的各種變形結構，如下文即將要介紹的B+樹，B*樹來儲存資訊。 

B樹與紅黑樹最大的不同在於，B樹的結點可以有許多子女，從幾個到幾千個。那為什麼又說B樹與紅黑樹很相似呢?因為與紅黑樹一樣，一棵含n個結點的B樹的高度也為O（lgn），但可能比一棵紅黑樹的高度小許多，應為它的分支因子比較大。所以，B樹可以在O（logn）時間內，實現各種如插入（insert），刪除（delete）等動態集合操作。  

如下圖所示，即是一棵B樹，一棵關鍵字為英語中子音字母的B樹，現在要從樹種查詢字母R（包含n[x]個關鍵字的內結點x，x有n[x]+1]個子女（也就是說，一個內結點x若含有n[x]個關鍵字，那麼x將含有n[x]+1個子女）。所有的葉結點都處於相同的深度，帶陰影的結點為查詢字母R時要檢查的結點）：

相信，從上圖你能輕易的看到，一個內結點x若含有n[x]個關鍵字，那麼x將含有n[x]+1個子女。如含有2個關鍵字D H的內結點有3個子女，而含有3個關鍵字Q T X的內結點有4個子女。

B樹的定義，從下文中，你將看到，或者是用階，或者是用度，如下段文字所述：     

  Unfortunately, the literature on B-trees is not uniform in its use of terms relating to B-Trees. (Folk & Zoellick 1992, p. 362) Bayer & McCreight (1972), Comer (1979), and others define the order of B-tree as the minimum number of keys in a non-root node. Folk & Zoellick (1992) points out that terminology is ambiguous because the maximum number of keys is not clear. An order 3 B-tree might hold a maximum of 6 keys or a maximum of 7 keys. (Knuth 1998,TAOCP p. 483) avoids the problem by defining the order to be maximum number of children (which is one more than the maximum number of keys).

用階定義的B樹 

B 樹又叫平衡多路查詢樹。一棵m階的B 樹 (注：切勿簡單的認為一棵m階的B樹是m叉樹，雖然存在四叉樹，八叉樹，KD樹，及vp/R樹/R*樹/R+樹/X樹/M樹/線段樹/希爾伯特R樹/優先R樹等空間劃分樹，但與B樹完全不等同)的特性如下：  

①樹中每個結點最多含有m個孩子（m>=2）； 

②除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是一個取上限的函式）； 

③若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子（特殊情況：沒有孩子的根結點，即根結點為葉子結點，整棵樹只有一個根節點）； 

④所有葉子結點都出現在同一層，葉子結點不包含任何關鍵字資訊(可以看做是外部接點或查詢失敗的接點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指標都為null)；（讀者反饋@冷嶽：這裡有錯，葉子節點只是沒有孩子和指向孩子的指標，這些節點也存在，也有元素。@研究者July：其實，關鍵是把什麼當做葉子結點，因為如紅黑樹中，每一個NULL指標即當做葉子結點，只是沒畫出來而已）。 

⑤每個非終端結點中包含有n個關鍵字資訊： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：  

a)Ki (i=1...n)為關鍵字，且關鍵字按順序升序排序K(i-1)< Ki。 b)Pi為指向子樹根的接點，且指標P(i-1)指向子樹種所有結點的關鍵字均小於Ki，但都大於K(i-1)。   

c)關鍵字的個數n必須滿足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。如下圖所示：

用度定義的B樹 

針對上面的5點，再闡述下：

B樹中每一個結點能包含的關鍵字（如之前上面的D H和Q T X）數有一個上界和下界。這個下界可以用一個稱作B樹的最小度數（演算法導論中文版上譯作度數，最小度數即內節點中節點最小孩子數目）m（m>=2）表示。 

i)每個非根的內結點至多有m個子女，每個非根的結點必須至少含有m-1個關鍵字，如果樹是非空的，則根結點至少包含一個關鍵字； 

ii)每個結點可包含至多2m-1個關鍵字。所以一個內結點至多可有2m個子女。如果一個結點恰好有2m-1個關鍵字，我們就說這個結點是滿的（而稍後介紹的B*樹作為B樹的一種常用變形，B*樹中要求每個內結點至少為2/3滿，而不是像這裡的B樹所要求的至少半滿）； 

iii)當關鍵字數m=2（t=2的意思是，mmin=2，m可以>=2）時的B樹是最簡單的（有很多人會因此誤認為B樹就是二叉查詢樹，但二叉查詢樹就是二叉查詢樹，B樹就是B樹，B樹是一棵含有m（m>=2）個關鍵字的平衡多路查詢樹），此時，每個內結點可能因此而含有2個、3個或4個子女，亦即一棵2-3-4樹，然而在實際中，通常採用大得多的t值。 

B樹中的每個結點根據實際情況可以包含大量的關鍵字資訊和分支(當然是不能超過磁碟塊的大小，根據磁碟驅動(disk drives)的不同，一般塊的大小在1k~4k左右)；這樣樹的深度降低了，這就意味著查詢一個元素只要很少結點從外存磁碟中讀入記憶體，很快訪問到要查詢的資料。如果你看完上面關於B樹定義的介紹，思維感覺不夠清晰，請繼續參閱下文第6小節、B樹的插入、刪除操作 部分。 

3.2 B樹的型別和節點定義 

B樹的型別和節點定義如下圖所示：

3.3 檔案查詢的具體過程(涉及磁碟IO操作) 

為了簡單，這裡用少量資料構造一棵3叉樹的形式，實際應用中的B樹結點中關鍵字很多的。上面的圖中比如根結點，其中17表示一個磁碟檔案的檔名；小紅方塊表示這個17檔案內容在硬碟中的儲存位置；p1表示指向17左子樹的指標。  

其結構可以簡單定義為： 

typedef struct {     

  /*檔案數*/     

  int  file_num;   

  /*檔名(key)*/     

  char * file_name[max_file_num];     

  /*指向子節點的指標*/      

  BTNode * BTptr[max_file_num+1];     

  /*檔案在硬碟中的儲存位置*/      

  FILE_HARD_ADDR offset[max_file_num]; 

}BTNode; 

假如每個盤塊可以正好存放一個B樹的結點（正好存放2個檔名）。那麼一個BTNODE結點就代表一個盤塊，而子樹指標就是存放另外一個盤塊的地址。 

下面，我們們來模擬下查詢檔案29的過程：  

1 根據根結點指標找到檔案目錄的根磁碟塊1，將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟IO操作 1次】      

2 此時記憶體中有兩個檔名17、35和三個儲存其他磁碟頁面地址的資料。根據演算法我們發現：17<29<35，因此我們找到指標p2。  

3 根據p2指標，我們定位到磁碟塊3，並將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟IO操作 2次】     

此時記憶體中有兩個檔名26，30和三個儲存其他磁碟頁面地址的資料。根據演算法我們發現：26<29<30，因此我們找到指標p2。  

4 根據p2指標，我們定位到磁碟塊8，並將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟IO操作 3次】     

此時記憶體中有兩個檔名28，29。根據演算法我們查詢到檔名29，並定位了該檔案記憶體的磁碟地址。

分析上面的過程，發現需要3次磁碟IO操作和3次記憶體查詢操作。關於記憶體中的檔名查詢，由於是一個有序表結構，可以利用折半查詢提高效率。至於IO操作是影響整個B樹查詢效率的決定因素。 

當然，如果我們使用平衡二叉樹的磁碟儲存結構來進行查詢，磁碟4次，最多5次，而且檔案越多，B樹比平衡二叉樹所用的磁碟IO操作次數將越少，效率也越高。  

3.4 B樹的高度     

根據上面的例子我們可以看出，對於輔存做IO讀的次數取決於B樹的高度。而B樹的高度由什麼決定的呢？     

若B樹某一非葉子節點包含N個關鍵字，則此非葉子節點含有N+1個孩子結點，而所有的葉子結點都在第I層，我們可以得出： 

因為根至少有兩個孩子，因此第2層至少有兩個結點。    

除根和葉子外，其它結點至少有┌m/2┐個孩子，    

因此在第3層至少有2*┌m/2┐個結點，    

在第4層至少有2*(┌m/2┐^2)個結點，    

在第 I 層至少有2*(┌m/2┐^(l-2) )個結點，於是有： N+1 ≥ 2*┌m/2┐I-2；    

考慮第L層的結點個數為N+1，那麼2*(┌m/2┐^(l-2)）≤N+1，也就是L層的最少結點數剛好達到N+1個，即： I≤ log┌m/2┐((N+1)/2 )+2；    

所以，當B樹包含N個關鍵字時，B樹的最大高度為l-1（因為計算B樹高度時，葉結點所在層不計算在內），即：l - 1 = log┌m/2┐((N+1)/2 )+1。 　　

這個B樹的高度公式從側面顯示了B樹的查詢效率是相當高的。 

曾在一次面試中被問到，一棵含有N個總關鍵字數的m階的B樹的最大高度是多少?答曰：log_ceil（m/2）(N+1)/2 + 1 （上面中關於m階B樹的第1點特性已經提到：樹中每個結點含有最多含有m個孩子，即m滿足：ceil(m/2)<=m<=m。而樹中每個結點含孩子數越少，樹的高度則越大，故如此）。在2012微軟4月份的筆試中也問到了此問題。 

此外，還有讀者反饋，說上面的B樹的高度計算公式與演算法導論一書上的不同，而後我特意翻看了演算法導論第18章關於B樹的高度一節的內容，如下圖所示：

在上圖中書上所舉的例子中，也許，根據我們大多數人的理解，它的高度應該是4，而書上卻說的是“一棵高度為3的B樹”。 

我想，此時，你也就明白了，演算法導論一書上的高度的定義是從“0”開始計數的，而我們中國人的習慣是樹的高度是從“1”開始計數的。

本題解析節選自CSDN上的一篇閱讀量超過50萬的部落格《從B 樹、B+ 樹、B* 樹談到R 樹》 作者：July、weedge、Frankie。程式設計藝術室出品。

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