P5858 「SWTR-3」Golden Sword
第一道自己想出遞推公式並且成功\(AC\)的\(dp\)綠題。
題意簡述
有\(n\)種原料，每個原料有一個耐久度\(a[i]\)，必須按照\(1,2,…,n\)的順序放入鍊金鍋。但是鍊金鍋的容量是有限的，只有\(w\)，所以在每次放入原料之前，都可以選擇取出\(0\sim s\)個原料再放當前的原料。
放入第\(i\)個原料後，所鍛造的武器的總耐久度就會增加\(len*a[i]\)（\(len\)表示當前鍊金鍋中原料個數）。
詢問最大的“武器總耐久度”。
資料範圍：
輸入輸出格式
輸入：\(n,w,s\)，而後\(n\)個整數\(a_1,a_2,…,a_n\)。
輸出：一行，表示最終答案。
思路簡述
用下面的樣例進行演示：
7 4 2
-5 3 -1 -4 7 -6 5
輸出：17。
如圖，用\(f\)作為\(dp\)陣列。\(f[i][j]\)表示放了前\(i\)個，放完後鍋中還有\(j\)個的最大值。
遞推公式：\(f[i][j]=a[i]*j+max(f[i-1][k])(j-1\leq k\leq min(w,j+s-1))\)
例如下圖求\(f[6][2]\)，就是用\(max(綠色部分)+2倍的紫色部分\)。
怎麼推導呢？我們發現\(dp[6][2]\)肯定可以由\(dp[5][1]\)推來的，因為\(f[5][1]\)的基礎上，不拿走任何元素就直接放入第\(6\)個元素，狀態就是\(f[6][2]\)。
那麼\(dp[6][2]\)還能由哪些狀態推來呢？別忘了每放一個原料前，我們可以拿出最多\(s=2\)個元素。所以\(f[6][2]\)自然也能透過\(f[5][2]\)（拿\(1\)個元素）、\(f[5][3]\)（拿\(2\)個元素）。
這樣我們可以寫出程式碼（見Code部分#1）。
最佳化
然而這份程式碼提交上去，能\(A\)大部分，但還有\(TLE\)的點。這是因為我們每求一次最大值都要遍歷上一行。怎麼解決這個問題呢？沒錯，這就是「單調佇列最佳化\(dp\)」。
單調佇列我先開個坑，到時候填。
使用\(maxx[j]\)表示當前行即\(f[i]\)中，以\(j\)結尾，往前長度為\(min(j,s+1)\)的最大值。每次求完這一行的\(f\)，就處理出\(maxx\)陣列供下一行使用。
這樣求\(f[i][j]\)時，就用\(maxx[j+s-1]\)就好了。
此時我們發現\(f\)也可以最佳化空間為一維（與HDU1024 Max Sum Plus Plus有異曲同工之妙，無論是在推導過程還是最佳化方面），這樣既最佳化了時間，還最佳化了空間，一舉兩得。
注意遞推完，下一行最多用到\(max(i+s,w+s)\)，所以維護\(maxx\)時只需要迴圈至\(max(i+s,w+s)\)即可。
時間複雜度\(O(nw)\)，程式碼見#2。
Code
#1
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int s,w,n,a[5010];
int f[5010][5010];
signed main(){
cin>>n>>w>>s;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
memset(f,0x80,sizeof f);//long long極小值
for(int i=0;i<=w;i++) f[0][i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=w;j++){
if(j>i) break;
for(int k=j-1;k<j+s;k++){
if(k>w) break;
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][k]);
}
f[i][j]+=a[i]*j;
cout<<f[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
int ans=LLONG_MIN;
for(int i=1;i<=w;i++) ans=max(ans,f[n][i]);
cout<<ans;
return 0;
}
#2
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int s,w,n,a[5010],maxx[5010];
int f[5010];
deque<int> q;
signed main(){
cin>>n>>w>>s;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=w;j++){
if(j>i) break;
f[j]=maxx[j+s-1]+a[i]*j;
}
q.clear();
for(int j=1;j<=w+s;j++){
if(j>i+s) break;
if(j<=i&&j<=w){//如果i個元素加完了，就只出不入
while(!q.empty()&&f[j]>=f[q.front()]) q.pop_back();
q.push_back(j);
}
if(q.front()+s+1<=j) q.pop_front();
maxx[j]=f[q.front()];
}
}
int ans=LLONG_MIN;
for(int i=1;i<=w;i++) ans=max(ans,f[i]);
cout<<ans;
return 0;
}