借這一道題目來介紹一下最小瓶頸路和Kruscal重構樹
首先本來這道題目我其實是沒看出來是最大生成樹的（因為不知道上面兩個東西），然後我想的是二分，當然也可以做，但是複雜度多一個\(log\)
對上面兩個東西的介紹見OI-wiki
下面是一些解釋
最小瓶頸路的性質的第一句話說“根據最小生成樹定義”，其實這個根據定義是出不來的，我們需要證明，而且這個證明不是簡單的反證法就可以證明成功的，要用比較複雜的反證
我們考慮某一對點\((u,v)\)，在MST上其存在且僅存在一條路徑，設這條路徑的邊權的最小值為\(a\)；假設在原圖中\((u,v)\)存在另一條路徑，設這條路徑的邊權的最小值為\(b\)，且\(b>a\)，則我們考慮這條路徑中不在MST中的邊
對這樣的一條邊，我們考慮Kruscal演算法的過程，當遍歷到這條邊的時候，我們沒有將這條邊加入Kruscal，因為這條邊的兩個端點已經存在一條路徑了，而且這條路徑上的每一條邊都是最終MST上的邊。也就是說，我們可以將我們找到的任意一條其他的非MST路徑上不是MST中的邊全部換成若干條MST上的邊，而且邊權最小值會變大（或者至少不會變差），所以最後所有邊都是MST上的邊而且答案不會更劣；由於MST上\((u,v)\)只有一條路徑，所以說這就是最優的答案
我們以上的證明過程也說明我們隨便求一個MST就好了
然後這道題目只會用到最小瓶頸路
接下來介紹一下Kruscal重構樹
定義中說“得到了一顆恰有\(n\)個葉子的二叉樹”，實際上這些葉子全部都是原圖中的點（也就是說新新增的點都不是葉子），這個用數學歸納法可以證明；“非葉子節點恰有兩個兒子”也可以用數學歸納法證明
那麼為什麼
第一個等號見上文證明；第二個等號我們來考慮Kruscal的過程
對於\((u,v)\)在MST上的路徑，我們找出其邊權最大的邊，這條邊是這條路徑中最後被新增到MST中的邊
在新增這條邊之前，\(u\)和\(v\)各自在兩個連通塊中，而且這兩個連通塊都是樹，\(u\)或者\(v\)一直往上面走最終會走到各自連通塊的根節點；新增這條邊之後，我們連線了兩個連通塊（樹）的根節點，並且將這兩個根結點作為新連通塊根節點的左右兒子，所以這個時候\(u\)和\(v\)各自往上面走，就會走到這個新連通塊的根節點，所以這個根節點就是兩者的LCA，且這個LCA的點權剛好是我們新增的最後一條邊的邊權，也就是路徑的最大值
我們還可以發現，最終得到的Kruscal重構樹，父親的權值一定不會低於兩個兒子的權值