計算理論101：這可能是講FSM的最生動的一篇了

liaochangjiang發表於2019-04-20

本文參考了：

簡介

這是《計算理論101》系列的第一篇，將從最基本的有限狀態機講起。主要參考的課程和書籍有： Introduction to the Theory of Computation 3rd Edition 和【Stonehill college CS】Introduction to the Theory of Computation 。

為什麼要學習『計算理論』？

如 Stonehill college 的 Professor of Computer Science Shai Simonson所說，這可能是計算機課程中最抽象的一門了，但卻是任何 computer scientist（我覺得可以延生至任何真正熱愛 CS 的人）至少需要了解的一門課。這門課不會教你如何寫程式碼，也不會教你如何做一個計算機，而是著重於『電腦科學』中的『科學』兩個字，去了解電腦科學發展幾十年來前人閃耀的思想。

還有一點，我認為也是很重要的，那就是學習新知識那份最單純的快樂。

好了，廢話不多說，開始正題~

什麼是有限狀態機

以一個程式設計師的角度，我的理解就是記憶體有限的一個機器，上面定義了一些函式，可以從一個狀態跳轉到另一個狀態。嚴格的數學定義，一個有限狀態機可以定義為一個五元組，如下圖表示（來源於Introduction to the Theory of Computation 3rd Edition P35）：

可以用圖直觀地表示：下圖這個狀態機，圓圈表示的是可能出現的狀態，可能輸入的值為0和1，裝換函式就是那些箭頭，開始狀態為 q1，accept 狀態為 q2（用雙圓圈表示）。

一個有限狀態機的定義其實就是這麼簡單。

有限狀態機應用

有限狀態機一個最顯然的特點就是記憶體有限，無法記憶所有的歷史輸入，所以它能夠解決的問題是有限的。至於什麼問題能夠解決，什麼不能，後面再說。先來看看有限狀態機的應用。

嵌入式領域：自動門

這是《Introduction to the Theory of Computation 3rd Edition》書中提到的一個例子。

下圖中，門口和門背各有一個感應器（front 為門口，rear 為門背）。門的控制開關一共有兩個狀態：OPEN 和 CLOSED，輸入一共有四種情況：FRONT（門口有人）、REAR（門背有人）、BOTH（門口門背都有人）、NEITHER（兩邊都沒人）。

有一個圖表示狀態轉換過程為：

稍微解釋一下：

處於 CLOSED 狀態，只有前面的 pad 檢測到有人時才會開啟，從 CLOSED 狀態變為 OPEN 狀態，其餘情況下維持狀態不變。
處於 OPEN 狀態時，只有當兩邊都沒有檢測到人時，才轉換為 CLOSED 狀態。

我對於這個門的設計表示懷疑，處於 CLOSED 狀態時，難道 REAR PAD 檢測到人不應該變成 OPEN 狀態嗎？也許是我哪裡理解得不對，有童鞋知道的歡迎指出。不過這一點不影響我們對於有限自動機的理解。

這個自動門其實就可以看作是一個最簡單的計算機了，它只有一個 bit 的儲存空間，可以記錄當前門的狀態是OPEN 還是 CLOSED。類似的還有電梯，飲料機等等。

事實上，最開始我們骨灰級的程式設計師（電腦科學家）們，面對的就是類似的情況，儲存空間極其有限。現在的很多嵌入式裝置，記憶體同樣非常有限，所以有限狀態機還是有用武之地的。

程式設計領域：正規表示式

這裡推薦一個網站： regexper.com/ ，能夠非常直觀地將正規表示式還原為一個 finite state machine。另外開源地址如下： gitlab.com/javallone/r… 。

舉幾個正規表示式例子：

匹配手機號：/^1(3|4|5|7|8)\d{9}$/：

匹配郵箱：^([a-zA-Z0-9_\-\.]+)@([a-zA-Z0-9_\-\.]+)\.([a-zA-Z]{2,5})$

匹配 IP 地址：^((25[0-5]|2[0-4][0-9]|[01]?[0-9][0-9]?)\.){3}(25[0-5]|2[0-4][0-9]|[01]?[0-9][0-9]?)$

這裡不深入程式碼層，不然這篇文章就講不完了。有興趣的童鞋自己 Google 一下，後面有機會可能會再次講到。

其他

這個 stackexchange 的連結裡面提到了很多： softwareengineering.stackexchange.com/questions/4…

設計有限狀態機

例項一

設計一個FSM，能夠識別被3整除的二進位制字串。比如accept 1001，reject 1101。首先，我們可以把所有餘數（reminder）的可能性當作狀態，也就是三個狀態：0，1，2，其中0時 accept 狀態。然後分析一下狀態轉換是怎麼樣的？二進位制數，末位新增一個0表示乘以2，末位加1表示乘以2再加1，對於餘數，同樣是乘2或者乘2加1，只不過餘數會『進位』。

從起始狀態開始：最開始沒有輸入，也就是0。
對於狀態0：輸入為0時維持不變，為1會跳轉到1。

對於狀態1，輸入為0時，餘數要乘以2，變成了2；輸入為1時，餘數乘2加1，結果變為0（3）。

對於狀態2：輸入0乘以2，變為1（4）；輸入1乘以2再加一，變為2（5）。

這樣就做完了，一個用普通演算法很難解決的問題，用FSM是不是很簡單？會設計識別能被3整除的 FSM，接下來被4、5、6、7、8整除的是不是也會了？這裡，被2^k(k=1,2,3,4)整除還有一個更簡單的方法：轉換為判斷末位至少有k 個0。

動手來畫一畫：

例項二

設計一個 FSM，能夠識別能被4整除的二進位制字串（末尾至少有兩個0）。這裡把狀態設計為目前為止末尾收到了幾個0，一共有三個狀態：0個0，1個0，2個0。

有這個還可以推廣到模式字串識別，比如要識別特定子字串，請看下面這個例子。

例項三

設計一個 FSM，能夠識別子字串abcab。

為了簡單起見，這裡把圓圈省略掉了，同時把中間的某些節點的狀態轉換忽略掉了。

最開始，狀態為未匹配任意字元。
在起始狀態：輸入 a，跳轉到 a；輸入其他狀態保持不變。
在狀態 a：輸入 b 跳轉到 ab；輸入 a 維持狀態不變；輸入其他跳回起始狀態。
在狀態 abc：輸入 a 跳轉到 abca；否則跳回起始狀態。
在狀態 abca：輸入 b 跳轉到 abcab，也就是accept 狀態；輸入 a 跳轉回 a（注意不是跳轉回起始狀態，因為現在是 abcaa，也就相等於 a）；輸入其他跳轉回起始狀態。
在狀態 abcab：無論輸入什麼，都維持不變，因為當前已經匹配成功了。