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AHP (Analytic Hierarchy Process)層次分析法是美國運籌學家Saaty教授於二十世紀80年代提出的一種實用的多方案或多目標的決策方法。其主要特徵是，它合理地將定性與定量的決策結合起來，按照思維、心理的規律把決策過程層次化、數量化。

層次分析法的基本思路：先分解後綜合

首先將所要分析的問題層次化，根據問題的性質和要達到的總目標，將問題分解成不同的組成因素，按照因素間的相互關係及隸屬關係，將因素按不同層次聚集組合，形成一個多層分析結構模型，最終歸結為最低層（方案、措施、指標等）相對於最高層（總目標）相對重要程度的權值或相對優劣次序的問題。

用AHP分析問題大體要經過以下五個步驟：

（1）建立層次結構模型；
（2）構造判斷矩陣；
（3）層次單排序；
（4）一致性檢驗；
（5）層次總排序。

其中後三個步驟在整個過程中需要逐層地進行。

以下是一個情景案例：

假期你想要出去旅遊，現有三個目的地（方案）：

古風古韻的西安（P1）；
天府之國的成都（P2）；
如詩如畫的杭州（P3）。

假如選擇的標準和依據（行動方案准則）有5個：

景色，費用，飲食，居住和旅途。

則常規思維的方式一般是：

1、先確定這些準則在心中的各自佔比的大小；
2、然後就每一準則將三個地點進行比較；
3、最後將這兩個層次的比較判斷進行綜合，做出選擇。

以下是根據分析思路構建的層次分析法結構模型：

以上結構模型中，我們需要比較準側層各個準則相對於目標的權重，同時也要比較方案層各個方案相對於準側層每一個準則的權重。

權重的判斷建立在專家打分的基礎上，即通過一組打分標準，來賦予單層各個指標的相對權重。

這裡的打分機制使用1~9標度法：

1代表兩個元素相比，具有相同的重要性；
3代表兩個元素相比，前者比後者稍重要；
5代表兩個元素相比，前者比後者明顯重要；
7代表兩個元素相比，前者比後者極其重要；
9代表兩個元素相比，前者比後者強烈重要

2，4，6，8表示上述相鄰判斷的中間值。

以上準則層的5個指標依次是：

景色：C1
費用：C2
居住：C3
飲食：C4
旅途：C5

相對於目標層：選擇旅遊地，進行兩兩比較打分。

    景色 費用 居住 飲食  旅途    C1  C2   C3  C4   C5

C1       1     1/2        4        3          3
C2       2      1          7        5         5
C3     1/4    1/7       1        1/2       1/3
C4     1/3    1/5       2        1          1
C5     1/3    1/5       2        1          1

構造所有相對於不同準則的方案層判斷矩陣

相對於景色
     P1    p2    p3
P1   1     2     5
P2  1/2    1     2
P3  1/5   1/2    1

相對於費用
     P1    p2    p3
P1   1    1/3   1/8
P2   3     1    1/3
P3   8     3     1

相對於居住
     P1    p2    p3
P1   1     1     3
P2   1     1     3
P3  1/3    1/3   1

相對於飲食
     P1    p2    p3
P1   1     3     4
P2  1/3    1     1
P3  1/4    1     1

相對於旅途

  P1 P2  P3

P1  1     1    1/4
P2  1     1    1/4
P3  4     4     4

以下是整個層次分析法的整個建模流程：

#清空R語言環境記憶體

rm(list = ls())gc()

#載入包

library("readxl")
library("dplyr")
library("magrittr")

準則層：

C1——景色

C2——費用

C3——居住

C4——飲食

C5——旅途

方案層：

P1——西安

P2——成都

P3——杭州

準則層與方案層的判定矩陣:（專（hu）家 (luan) 打 (tian) 分 (xie) ）

#準則層判斷矩陣
data_C <- matrix(  c(1,2,1/4,1/3,1/3,1/2,1,1/7,1/5,1/5,4,7,1,2,3,3,5,1/2,1,1,3,5,1/3,1,1),  nrow = 5,  dimnames = list(c("C1","C2","C3","C4","C5"),c("C1","C2","C3","C4","C5")))

#景色判斷矩陣
data_B1 <- matrix(  c(1,1/2,1/5,2,1,1/2,5,2,1),  nrow = 3,  dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3")))

#費用判斷矩陣
data_B2 <- matrix(  c(1,3,8,1/3,1,3,1/8,1/3,1),  nrow = 3,  dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3")))

#居住判斷矩陣
data_B3 <- matrix(  c(1,1,1/3,1,1,1/3,3,3,1),  nrow = 3,  dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3")))

#飲食判斷矩陣
data_B4 <- matrix(  c(1,1/3,1/4,3,1,1,4,1,1),  nrow = 3,  dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3")))

#路途判斷矩陣
data_B5 <- matrix(  c(1,1,4,1,1,4,1/4,1/4,1),  nrow = 3,  dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3")))

準側層判別過程：

1、判斷矩陣歸一化：

Weigth_fun <- function(data){
  if(class(data) == 'matrix'){      data = data       } else {
      if ( class(data) == 'data.frame' & nrow(data) == ncol(data) - 1 & is.character(data[,1,drop = TRUE])){      data = as.matrix(data[,-1])    } else if (class(data) == 'data.frame' & nrow(data) == ncol(data)) {      data = as.matrix(data)    } else {
      stop('please recheck your data structure , you must keep a equal num of the row and col')    }      }  sum_vector_row    =  data %>% apply(2,sum)  decide_matrix     =  data %>% apply(1,function(x) x/sum_vector_row)   weigth_vector     =  decide_matrix %>% apply(2,sum)  result = list(decide_matrix = decide_matrix, weigth_vector  = weigth_vector/sum(weigth_vector ))
  return(result)}Weigth_fun(data_C)

2、輸出特徵向量λ

AW_Weight <- function(data){
  if(class(data) == 'matrix'){    data = data       } else {
      if ( class(data) == 'data.frame' & nrow(data) == ncol(data) - 1 & is.character(data[,1,drop = TRUE])){      data = as.matrix(data[,-1])    } else if (class(data) == 'data.frame' & nrow(data) == ncol(data)) {      data = as.matrix(data)    } else {
      stop('please recheck your data structure , you must keep a equal num of the row and col')    }      }  AW_Vector = data %*% Weigth_fun(data)$weigth_vector  λ = (AW_Vector/Weigth_fun(data)$weigth_vector) %>%  sum(.) %>% `/`(length(AW_Vector))  result = list(    AW_Vector = AW_Vector,    `∑AW/W`   = AW_Vector/Weigth_fun(data)$weigth_vector,    λ         =  λ  )  return(result)}AW_Weight(data_C)

3、一致性檢驗：

Consist_Test <- function(λ,n){  RI_refer =  c(0,0,0.52,0.89,1.12,1.26,1.36,1.41,1.46,1.49,1.52,1.54)  CI = (λ - n)/(n - 1)  CR = CI/(RI_refer[n])
  if (CR <= .1){    cat(" 通過一致性檢驗！",sep = "
")    cat(" Wi: ", round(CR,4), "
")  } else {    cat(" 請調整判斷矩陣！","
")  }  return(CR)}Consist_Test(AW_Weight(data_C)$λ,5)

 通過一致性檢驗！

 Wi:  0.0163 

[1] 0.01627942

OutPut:

(利用上述各步程式碼，將準則層、方案層的所有權重向量、特徵值及一致性檢驗結果輸出)

#準則層：
rule_Weigth_C <- Weigth_fun(data_C)$weigth_vector   #準則層特徵向量
rule_λ_C      <- AW_Weight(data_C)$λ                #準則層特徵值
CR_C      <-  Consist_Test(AW_Weight(data_C)$λ,5)  #準則層一致性檢驗：
rule_Weigth_C1 <- Weigth_fun(data_B1)$weigth_vector   #方案層(for C1)特徵向量
rule_Weigth_C2 <- Weigth_fun(data_B2)$weigth_vector   #方案層(for C2)特徵向量
rule_Weigth_C3 <- Weigth_fun(data_B3)$weigth_vector   #方案層(for C3)特徵向量
rule_Weigth_C4 <- Weigth_fun(data_B4)$weigth_vector   #方案層(for C4)特徵向量
rule_Weigth_C5 <- Weigth_fun(data_B5)$weigth_vector   #方案層(for C5)特徵向量
scheme_λ_C1      <- AW_Weight(data_B1)$λ              #方案層(for C1)特徵值
scheme_λ_C2      <- AW_Weight(data_B2)$λ              #方案層(for C2)特徵值
scheme_λ_C3      <- AW_Weight(data_B3)$λ              #方案層(for C3)特徵值
scheme_λ_C4      <- AW_Weight(data_B4)$λ              #方案層(for C4)特徵值
scheme_λ_C5      <- AW_Weight(data_B5)$λ              #方案層(for C5)特徵值
CR_C1 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B1)$λ,3)         #方案層(for C1)一致性檢驗
CR_C2 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B2)$λ,3)         #方案層(for C2)一致性檢驗
CR_C3 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B3)$λ,3)         #方案層(for C3)一致性檢驗
CR_C4 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B4)$λ,3)         #方案層(for C4)一致性檢驗
CR_C5 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B5)$λ,3)         #方案層(for C5)一致性檢驗

層次總排序：

all_matrix <- matrix(c(rule_Weigth_C1,rule_Weigth_C2,rule_Weigth_C3,rule_Weigth_C4,rule_Weigth_C5),nrow = 3)decide_result <- all_matrix %*% rule_Weigth_Cdimnames(decide_result) <- list(c("P1","P2","P3"),"score")       scoreP1 0.2990074
P2 0.2454134
P3 0.4555792
P3(杭州) > p1（西安） > P2（成都）

最終決策結果顯示，我們應該去的地方推薦優先順序分別為：杭州 > 西安 > 成都

備註（因為打分資料是虛構的，所以並沒有任何決策價值）

Python:

（備註：這裡只給出使用Python構造模型的工具程式碼，具體判定過程需要自己操作）

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

import time
import numpy   as np
import pandas  as pd import os
from scrapy.exceptions import DropItemnp.random.seed(233333)os.chdir('D:/R/File') 
#！！！
#溫馨提示，這裡的函式是基於pandas資料框，
#如果直接構造的矩陣陣列，需要微調程式碼！

#判定矩陣歸一化

def Weight(data):    if data.shape[0] == data.shape[1] - 1 and data.iloc[:,0].dtype == 'object':        data = data.iloc[:,1:]        data.index = data.columns        elif data.shape[0] == data.shape[1]:        data.index = data.columns
    else:        
        raise DropItem("please recheck your data structure , you must keep a equal num of the row and col")    weigth_matrix  = data.loc[:,].values    weight_vector  = weigth_matrix/np.sum(data.loc[:,].values,0)    sum_vector_col = weight_vector.sum(axis = 1)
    return {
    "weigth_matrix":weigth_matrix,
    "weight_vector":sum_vector_col/sum_vector_col.sum()    }Weight(mydata)["weigth_matrix"]Weight(mydata)["weight_vector"]

#計算權重矩陣與特徵值、特徵向量
def AW_Weight(data):    if data.shape[0] == data.shape[1] - 1 and data.iloc[:,0].dtype == 'object':        data = data.iloc[:,1:]        data.index = data.columns        elif data.shape[0] == data.shape[1]:        data.index = data.columns
    else:
        raise DropItem("please recheck your data structure , you must keep a equal num of the row and col")    AW_Vector = np.dot(data.values,Weight(mydata)["weight_vector"])    λ = (AW_Vector/Weight(mydata)["weight_vector"]).sum()/len(AW_Vector)
    return dict(        AW_Vector = AW_Vector,        AW_Vector_w = AW_Vector/Weight(mydata)["weight_vector"],        λ = λ        )AW_Weight(mydata)["AW_Vector"]AW_Weight(mydata)["AW_Vector_w"]AW_Weight(mydata)["λ"]

#一致性檢驗
def Consist_Test(λ,n):    RI_refer =  [0,0,0.52,0.89,1.12,1.26,1.36,1.41,1.46,1.49,1.52,1.54]    CI = (λ - n)/(n - 1)    CR = CI/(RI_refer[n-1])
    if (CR <= 0.1):        print(" 通過一致性檢驗！")        print(" Wi: ", np.round(CR,4))
    else:        print(" 請調整判斷矩陣！","
")
    return np.round(CR,4)

層次分析法雖然在多目標決策上可以很好地將定性決策定量化，但越是完美無缺的：

1~9標準打分機制是否合理（因為幾乎很難區別出臨界兩個分值之間的區別）

專家打分如何保證專家基於同一樣的評分尺度、客觀公允不划水，這些都是問題。

沒有完美無缺的模型，還是要具體問題具體分析，多方案交叉驗證效果！

參考資料：

《層次分析法原理》——章牧

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