（二）神經網路入門之Logistic迴歸（分類問題）

chen_h發表於2019-02-16
神經網路

作者：chen_h
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這篇教程是翻譯Peter Roelants寫的神經網路教程，作者已經授權翻譯，這是原文。

該教程將介紹如何入門神經網路，一共包含五部分。你可以在以下連結找到完整內容。

Logistic迴歸（分類問題）

這部分教程將介紹一部分：

  • Logistic分類模型

我們在上次的教程中給出了一個很簡單的模型，只有一個輸入和一個輸出。在這篇教程中，我們將構建一個二分類模型，輸入引數是兩個變數。這個模型在統計上被稱為Logistic迴歸模型，網路結構可以被描述如下：

Logistic迴歸模型

我們先匯入教程需要使用的軟體包。

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
from matplotlib.colors import colorConverter, ListedColormap
from matplotlib import cm

定義類分佈

在教程中，目標分類t將從兩個獨立分佈中產生，當t=1時，用藍色表示。當t=0時，用紅色表示。輸入引數X是一個N*2的矩陣，目標分類t是一個N * 1的向量。更直觀的表現，見下圖。

# Define and generate the samples
nb_of_samples_per_class = 20  # The number of sample in each class
red_mean = [-1,0]  # The mean of the red class
blue_mean = [1,0]  # The mean of the blue class
std_dev = 1.2  # standard deviation of both classes
# Generate samples from both classes
x_red = np.random.randn(nb_of_samples_per_class, 2) * std_dev + red_mean
x_blue = np.random.randn(nb_of_samples_per_class, 2) * std_dev + blue_mean

# Merge samples in set of input variables x, and corresponding set of output variables t
X = np.vstack((x_red, x_blue))
t = np.vstack((np.zeros((nb_of_samples_per_class,1)), np.ones((nb_of_samples_per_class,1))))
# Plot both classes on the x1, x2 plane
plt.plot(x_red[:,0], x_red[:,1], `ro`, label=`class red`)
plt.plot(x_blue[:,0], x_blue[:,1], `bo`, label=`class blue`)
plt.grid()
plt.legend(loc=2)
plt.xlabel(`$x_1$`, fontsize=15)
plt.ylabel(`$x_2$`, fontsize=15)
plt.axis([-4, 4, -4, 4])
plt.title(`red vs. blue classes in the input space`)
plt.show()

red vs. blue classes in the input space

Logistic函式和交叉熵損失函式

Logistic函式

我們設計的網路的目的是從輸入的x去預測目標t。假設，輸入x = [x1, x2]，權重w = [w1, w2]，預測目標t = 1。那麼，概率P(t = 1|x, w)將是神經網路輸出的y，即y = σ(x∗wT)。其中，σ表示Logistic函式，定義如下：

Logistic函式

如果，對於Logistic函式和它的導數還不是很清楚的，可以檢視這個教程，裡面進行了詳細描述。

交叉熵損失函式

對於這個分類問題的損失函式優化，我們使用交叉熵誤差函式來解決，對於每個訓練樣本i，交叉熵誤差函式定義如下：

每個樣本codei/code的交叉熵誤差函式

如果我們要計算整個訓練樣本的交叉熵誤差，那麼只需要把每一個樣本的值進行累加就可以了，即：

交叉熵誤差函式

關於交叉熵誤差函式更加詳細的介紹可以看這個教程。

logistic(z)函式實現了Logistic函式，cost(y, t)函式實現了損失函式，nn(x, w)實現了神經網路的輸出結果，nn_predict(x, w)實現了神經網路的預測結果。

# Define the logistic function
def logistic(z): 
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

# Define the neural network function y = 1 / (1 + numpy.exp(-x*w))
def nn(x, w): 
    return logistic(x.dot(w.T))

# Define the neural network prediction function that only returns
#  1 or 0 depending on the predicted class
def nn_predict(x,w): 
    return np.around(nn(x,w))
    
# Define the cost function
def cost(y, t):
    return - np.sum(np.multiply(t, np.log(y)) + np.multiply((1-t), np.log(1-y)))
# Plot the cost in function of the weights
# Define a vector of weights for which we want to plot the cost
nb_of_ws = 100 # compute the cost nb_of_ws times in each dimension
ws1 = np.linspace(-5, 5, num=nb_of_ws) # weight 1
ws2 = np.linspace(-5, 5, num=nb_of_ws) # weight 2
ws_x, ws_y = np.meshgrid(ws1, ws2) # generate grid
cost_ws = np.zeros((nb_of_ws, nb_of_ws)) # initialize cost matrix
# Fill the cost matrix for each combination of weights
for i in range(nb_of_ws):
    for j in range(nb_of_ws):
        cost_ws[i,j] = cost(nn(X, np.asmatrix([ws_x[i,j], ws_y[i,j]])) , t)
# Plot the cost function surface
plt.contourf(ws_x, ws_y, cost_ws, 20, cmap=cm.pink)
cbar = plt.colorbar()
cbar.ax.set_ylabel(`$\xi$`, fontsize=15)
plt.xlabel(`$w_1$`, fontsize=15)
plt.ylabel(`$w_2$`, fontsize=15)
plt.title(`Cost function surface`)
plt.grid()
plt.show()

Cost function surface

梯度下降優化損失函式

梯度下降演算法的工作原理是損失函式ξ對於每一個引數的求導，然後沿著負梯度方向進行引數更新。

引數w按照一定的學習率沿著負梯度方向更新，即w(k+1)=w(k)−Δw(k+1)，其中Δw可以表示為：

Δw

對於每個訓練樣本i，∂ξi/∂w計算如下：

損失函式對於權重的導數

其中，yi=σ(zi)是神經元的Logistic輸出，zi=xi∗wT是神經元的輸入。

在詳細推導損失函式對於權重的導數之前，我們先這個教程中摘取幾個推導。

分步推導

參考上面的分步推導，我們可以得到下面的詳細推導：

詳細推導

因此，對於每個權重的更新Δwj可以表示為：

每個權重的更新

在批處理中，我們需要將N個樣本的梯度都進行累加，即：

批處理更新

在開始梯度下降演算法之前，你需要對引數都進行一個隨機數賦值過程，然後採用梯度下降演算法更新引數，直至收斂。

gradient(w, x, t)函式實現了梯度∂ξ/∂w，delta_w(w_k, x, t, learning_rate)函式實現了Δw。

# define the gradient function.
def gradient(w, x, t):
    return (nn(x, w) - t).T * x

# define the update function delta w which returns the 
#  delta w for each weight in a vector
def delta_w(w_k, x, t, learning_rate):
    return learning_rate * gradient(w_k, x, t)
梯度下降更新

我們在訓練集X上面執行10次去做預測，下圖中畫出了前三次的結果，圖中藍色的點表示在第k次，w(k)的值。

# Set the initial weight parameter
w = np.asmatrix([-4, -2])
# Set the learning rate
learning_rate = 0.05

# Start the gradient descent updates and plot the iterations
nb_of_iterations = 10  # Number of gradient descent updates
w_iter = [w]  # List to store the weight values over the iterations
for i in range(nb_of_iterations):
    dw = delta_w(w, X, t, learning_rate)  # Get the delta w update
    w = w-dw  # Update the weights
    w_iter.append(w)  # Store the weights for plotting
# Plot the first weight updates on the error surface
# Plot the error surface
plt.contourf(ws_x, ws_y, cost_ws, 20, alpha=0.9, cmap=cm.pink)
cbar = plt.colorbar()
cbar.ax.set_ylabel(`cost`)

# Plot the updates
for i in range(1, 4): 
    w1 = w_iter[i-1]
    w2 = w_iter[i]
    # Plot the weight-cost value and the line that represents the update
    plt.plot(w1[0,0], w1[0,1], `bo`)  # Plot the weight cost value
    plt.plot([w1[0,0], w2[0,0]], [w1[0,1], w2[0,1]], `b-`)
    plt.text(w1[0,0]-0.2, w1[0,1]+0.4, `$w({})$`.format(i), color=`b`)
w1 = w_iter[3]  
# Plot the last weight
plt.plot(w1[0,0], w1[0,1], `bo`)
plt.text(w1[0,0]-0.2, w1[0,1]+0.4, `$w({})$`.format(4), color=`b`) 
# Show figure
plt.xlabel(`$w_1$`, fontsize=15)
plt.ylabel(`$w_2$`, fontsize=15)
plt.title(`Gradient descent updates on cost surface`)
plt.grid()
plt.show()

weight updates on the error surface

訓練結果視覺化

下列程式碼，我們將訓練的結果進行視覺化。

# Plot the resulting decision boundary
# Generate a grid over the input space to plot the color of the
#  classification at that grid point
nb_of_xs = 200
xs1 = np.linspace(-4, 4, num=nb_of_xs)
xs2 = np.linspace(-4, 4, num=nb_of_xs)
xx, yy = np.meshgrid(xs1, xs2) # create the grid
# Initialize and fill the classification plane
classification_plane = np.zeros((nb_of_xs, nb_of_xs))
for i in range(nb_of_xs):
    for j in range(nb_of_xs):
        classification_plane[i,j] = nn_predict(np.asmatrix([xx[i,j], yy[i,j]]) , w)
# Create a color map to show the classification colors of each grid point
cmap = ListedColormap([
        colorConverter.to_rgba(`r`, alpha=0.30),
        colorConverter.to_rgba(`b`, alpha=0.30)])

# Plot the classification plane with decision boundary and input samples
plt.contourf(xx, yy, classification_plane, cmap=cmap)
plt.plot(x_red[:,0], x_red[:,1], `ro`, label=`target red`)
plt.plot(x_blue[:,0], x_blue[:,1], `bo`, label=`target blue`)
plt.grid()
plt.legend(loc=2)
plt.xlabel(`$x_1$`, fontsize=15)
plt.ylabel(`$x_2$`, fontsize=15)
plt.title(`red vs. blue classification boundary`)
plt.show()

訓練結果視覺化

完整程式碼，點選這裡

作者：chen_h
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