abc156D 帶朵數限制的不同扎花方案數

chenfy27發表於2024-03-10

cfy有n種花，每種各1朵，需要從中選出1種或多種來紮成花束，要求花的朵數不能是a或b，問可以製作多少種不同的花束？結果對1E9+7取模。
2<=n<=1E9; 1<=a<b<=min(n,2E5)

每朵花都有選與不選兩種情況，去掉都不選的情況，共2^n-1種方案。然後再減掉選a種和選b種的情況，方案數分別為C(n,a)和C(n,b)，這裡n比較大，要用定義算。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a; i<=b; i++)
#define per(i,a,b) for(int i=b; i>=a; i--)

template<int MOD>
struct MInt {
    int x;
    int norm(int u) const {u%=MOD; if(u<0) u+=MOD; return u;}
    MInt(int v=0):x(norm(v)) {}
    int val() const {return x;}
    MInt operator-() const {return MInt(norm(MOD-x));}
    MInt inv() const {assert(x!=0); return power(MOD-2);}
    MInt &operator*=(const MInt &o) {x=norm(x*o.x); return *this;}
    MInt &operator+=(const MInt &o) {x=norm(x+o.x); return *this;}
    MInt &operator-=(const MInt &o) {x=norm(x-o.x); return *this;}
    MInt &operator/=(const MInt &o) {*this *= o.inv(); return *this;}
    friend MInt operator*(const MInt &a, const MInt &b) {MInt ans=a; ans*=b; return ans;}
    friend MInt operator+(const MInt &a, const MInt &b) {MInt ans=a; ans+=b; return ans;}
    friend MInt operator-(const MInt &a, const MInt &b) {MInt ans=a; ans-=b; return ans;}
    friend MInt operator/(const MInt &a, const MInt &b) {MInt ans=a; ans/=b; return ans;}
    friend std::istream &operator>>(std::istream &is, MInt &a) {int u; is>>u; a=MInt(u); return is;}
    friend std::ostream &operator<<(std::ostream &os, const MInt &a) {os<<a.val(); return os;}
    MInt power(int b) const {int r=1, t=x; while(b){if(b&1) r=r*t%MOD; t=t*t%MOD; b/=2;} return MInt(r);}
};
using mint = MInt<1000000007>;

mint comb(int n, int k) {
    mint r = 1;
    rep(i,1,k) r *= n-i+1;
    rep(i,1,k) r /= i;
    return r;
}
void solve() {
    int n, a, b;
    cin >> n >> a >> b;
    mint ans = 2;
    ans = ans.power(n) - 1;
    ans -= comb(n,a);
    ans -= comb(n,b);
    cout << ans << "\n";
}

signed main() {
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    int t = 1;
    while (t--) solve();
    return 0;
}

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