機器學習之決策樹與隨機森林模型

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作者：汪毅雄

導語本文用容易理解的語言和例子來解釋了決策樹三種常見的演算法及其優劣、隨機森林的含義，相信能幫助初學者真正地理解相關知識。

決策樹

引言

決策樹，是機器學習中一種非常常見的分類方法，也可以說是所有演算法中最直觀也最好理解的演算法。先舉個最簡單的例子：

A：你去不去吃飯？

B：你去我就去。

“你去我就去”，這是典型的決策樹思想。

再舉個例子：

有人找我借錢（當然不太可能。。。），借還是不借？我會結合根據我自己有沒有錢、我自己用不用錢、對方信用好不好這三個特徵來決定我的答案。

我們把轉到更普遍一點的視角，對於一些有特徵的資料，如果我們能夠有這麼一顆決策樹，我們也就能非常容易地預測樣本的結論。所以問題就轉換成怎麼求一顆合適的決策樹，也就是怎麼對這些特徵進行排序。

在對特徵排序前先設想一下，對某一個特徵進行決策時，我們肯定希望分類後樣本的純度越高越好，也就是說分支結點的樣本儘可能屬於同一類別。

所以在選擇根節點的時候，我們應該選擇能夠使得“分支結點純度最高”的那個特徵。在處理完根節點後，對於其分支節點，繼續套用根節點的思想不斷遞迴，這樣就能形成一顆樹。這其實也是貪心演算法的基本思想。那怎麼量化“純度最高”呢？熵就當仁不讓了，它是我們最常用的度量純度的指標。其數學表示式如下：

其中N表示結論有多少種可能取值，p表示在取第k個值的時候發生的概率，對於樣本而言就是發生的頻率/總個數。

熵越小，說明樣本越純。

以一個兩點分佈樣本X（x=0或1）的熵的函式影象來說明吧，橫座標表示樣本值為1的概率，縱座標表示熵。

可以看到到當p（x=1）=0時，也就是說所有的樣本都為0，此時熵為0.

當p（x=1）=1時，也就是說所有的樣本都為1，熵也為0.

當p（x=1）=0.5時，也就是樣本中0，1各佔一半，此時熵能取得最大值。

擴充套件一下，樣本X可能取值為n種（x1。。。。xn）。可以證明，當p（xi）都等於1/n 時，也就是樣本絕對均勻，熵能達到最大。當p（xi）有一個為1，其他都為0時，也就是樣本取值都是xi，熵最小。

決策樹演算法

ID3

假設在樣本集X中，對於一個特徵a，它可能有（a1，a2。。。an）這些取值，如果用特徵a對樣本集X進行劃分（把它當根節點），肯定會有n個分支結點。剛才提了，我們希望劃分後，分支結點的樣本越純越好，也就是分支結點的“總熵”越小越好。

因為每個分支結點的個數不一樣，因此我們計算“總熵”時應該做一個加權，假設第i個結點樣本個數為W(ai)，其在所有樣本中的權值為W(ai) / W(X)。所以我們可以得到一個總熵：

這個公式代表含義一句話：加權後各個結點的熵的總和。這個值應該越小，純度越高。

這時候，我們引入一個名詞叫資訊增益G（X，a），意思就是a這個特徵給樣本帶來的資訊的提升。公式就是：，由於H(X)對一個樣本而言，是一個固定值，因此資訊增益G應該越大越好。尋找使得資訊增益最大的特徵作為目標結點，並逐步遞迴構建樹，這就是ID3演算法的思想，

好了以一個簡單的例子來說明資訊增益的計算：

上面的例子，我計算一下特徵1的資訊增益

首先計算樣本的熵H（X）

再計算總熵，可以看到特徵1有3個結點A、B、C，其分別為6個、6個、5個

所以A的權值為6/(6+6+5), B的權值為6/(6+6+5), C的為5/(6+6+5)

因為我們希望劃分後結點的純度越高越好，因此還需要再分別計算結點A、B、C的熵

特徵1=A：3個是、3個否，其熵為

特徵1=B：2個是、4個否，其熵為

特徵1=C：4個是、1個否，其熵為

這樣分支結點的總熵就等於：

特徵1的資訊增益就等於0.998-0.889=0.109

類似地，我們也能算出其他的特徵的資訊增益，最終取資訊增益最大的特徵作為根節點。

以上計算也可以有經驗條件熵來推導：G（X,A）=H(X) - H(X|A)，這部分有興趣的同學可以瞭解一下。

C4.5

在ID3演算法中其實有個很明顯的問題。

如果有一個樣本集，它有一個叫id或者姓名之類的（唯一的）的特徵，那就完蛋了。設想一下，如果有n個樣本，id這個特徵肯定會把這個樣本也分成n份，也就是有n個結點，每個結點只有一個值，那每個結點的熵就為0。就是說所有分支結點的總熵為0，那麼這個特徵的資訊增益一定會達到最大值。因此如果此時用ID3作為決策樹演算法，根節點必然是id這個特徵。但是顯然這是不合理的。。。

當然上面說的是極限情況，一般情況下，如果一個特徵對樣本劃分的過於稀疏，這個也是不合理的（換句話就是，偏向更多取值的特徵）。為了解決這個問題，C4.5演算法採用了資訊增益率來作為特徵選取標準。

所謂資訊增益率，是在資訊增益基礎上，除了一項split information,來懲罰值更多的屬性。

而這個split information其實就是特徵個數的熵H（A）。

為什麼這樣可以減少呢，以上面id的例子來理解一下。如果id把n個樣本分成了n份，那id這個特徵的取值的概率都是1/n，文章引言已經說了，樣本絕對均勻的時候，熵最大。

因此這種情況，以id為特徵，雖然資訊增益最大，但是懲罰因子split information也最大，以此來拉低其增益率，這就是C4.5的思想。

CART

決策樹的目的最終還是尋找到區分樣本的純度的量化標準。在CART決策樹中，採用的是基尼指數來作為其衡量標準。基尼係數直觀的理解是，從集合中隨機抽取兩個樣本，如果樣本集合越純，取到不同樣本的概率越小。這個概率反應的就是基尼係數。

因此如果一個樣本有K個分類。假設樣本的某一個特徵a有n個取值的話，其某一個結點取到不同樣本的概率為：

因此k個分類的概率總和，我們稱之為基尼係數：

而基尼指數，則是對所有結點的基尼係數進行加權處理

計算出來後，我們會選擇基尼係數最小的那個特徵作為最優劃分特徵。

剪枝

剪枝的目的其實就是防止過擬合，它是決策樹防止過擬合的最主要手段。決策樹中，為了儘可能爭取的分類訓練樣本，所以我們的決策樹也會一直生長。但是呢，有時候訓練樣本可能會學的太好，以至於把某些樣本的特有屬性當成一般屬性。這時候就我們就需要主動去除一些分支，來降低過擬合的風險。

剪枝一般有兩種方式：預剪枝和後剪枝。

預剪枝

一般情況下，只要結點樣本已經100%純了，樹才會停止生長。但這個可能會產生過擬合，因此我們沒有必要讓它100%生長，所以在這之前，設定一些終止條件來提前終止它。這就叫預剪枝，這個過程發生在決策樹生成之前。

一般我們預剪枝的手段有：

1、限定樹的深度

2、節點的子節點數目小於閾值

3、設定結點熵的閾值

等等。

後剪枝

顧名思義，這個剪枝是在決策樹建立過程後。後剪枝演算法的演算法很多，有些也挺深奧，這裡提一個簡單的演算法的思想，就不深究啦。

Reduced-Error Pruning (REP)

該剪枝方法考慮將樹上的每個節點都作為修剪的候選物件，但是有一些條件決定是否修剪，通常有這幾步：

1、刪除其所有的子樹，使其成為葉節點。

2、賦予該節點最關聯的分類

3、用驗證資料驗證其準確度與處理前比較

如果不比原來差，則真正刪除其子樹。然後反覆從下往上對結點處理。這個處理方式其實是處理掉那些“有害”的節點。

隨機森林

隨機森林的理論其實和決策樹本身不應該牽扯在一起，決策樹只能作為其思想的一種演算法。

為什麼要引入隨機森林呢。我們知道，同一批資料，我們只能產生一顆決策樹，這個變化就比較單一了。還有要用多個演算法的結合呢？

這就有了整合學習的概念。

圖中可以看到，每個個體學習器（弱學習器）都可包含一種演算法，演算法可以相同也可以不同。如果相同，我們把它叫做同質整合，反之則為異質。

隨機森林則是整合學習採用基於bagging策略的一個特例。

從上圖可以看出，bagging的個體學習器的訓練集是通過隨機取樣得到的。通過n次的隨機取樣，我們就可以得到n個樣本集。對於這n個樣本集，我們可以分別獨立的訓練出n個個體學習器，再對這n個個體學習器通過集合策略來得到最終的輸出，這n個個體學習器之間是相互獨立的，可以並行。

注：整合學習還有另一種方式叫boosting，這種方式學習器之間存在強關聯，有興趣的可以瞭解下。

隨機森林採用的取樣方法一般是是Bootstap sampling，對於原始樣本集，我們每次先隨機採集一個樣本放入取樣集，然後放回，也就是說下次取樣時該樣本仍有可能被採集到，經過一定數量的取樣後得到一個樣本集。由於是隨機取樣，這樣每次的取樣集是和原始樣本集不同的，和其他取樣集也是不同的，這樣得到的個體學習器也是不同的。

隨機森林最主要的問題是有了n個結果，怎麼設定結合策略，主要方式也有這麼幾種：

加權平均法：

平均法常用於迴歸。做法就是，先對每個學習器都有一個事先設定的權值wi，

然後最終的輸出就是：

當學習器的權值都為1/n時，這個平均法叫簡單平均法。

投票法：

投票法類似我們生活中的投票，如果每個學習器的權值都是一樣的。

那麼有絕對投票法，也就是票數過半。相對投票法，少數服從多數。

如果有加權，依然是少數服從多數，只不過這裡面的數是加權後的。

例子

以一個簡單的二次函式的程式碼來看看決策樹怎麼用吧。

訓練資料是100個隨機的真實的平方資料，不同的深度將會得到不同的曲線

測試資料也是隨機資料，但是不同深度的樹的模型，產生的預測值也不太一樣。如圖

這幅圖的程式碼如下：

我的是python 3.6環境，需要安裝numpy、matplotlib、sklearn這三個庫，需要的話直接pip install，大家可以跑跑看看，雖然簡單但挺有趣。

#!/usr/bin/python
# -*- coding:utf-8 -*-

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor


if __name__ == "__main__":

    # 準備訓練資料
    N = 100
    x = np.random.rand(N) * 6 - 3
    x.sort()
    y = x*x
    x = x.reshape(-1, 1)

    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

    # 決策樹深度及其曲線顏色
    depth = [2, 4, 6, 8, 10]
    clr = 'rgbmy'

    # 實際值
    plt.figure(facecolor='w')
    plt.plot(x, y, 'ro', ms=5, mec='k', label='實際值')

    # 準備測試資料
    x_test = np.linspace(-3, 3, 50).reshape(-1, 1)

    # 構建決策樹
    dtr = DecisionTreeRegressor()
    # 迴圈不同深度情況下決策樹的模型，並用之測試資料的輸出
    for d, c in zip(depth, clr):
        # 設定最大深度（預剪枝）
        dtr.set_params(max_depth=d)
        # 訓練決策樹
        dtr.fit(x, y)
        # 用訓練資料得到的模型來驗證測試資料
        y_hat = dtr.predict(x_test)
        # 畫出模型得到的曲線
        plt.plot(x_test, y_hat, '-', color=c, linewidth=2, markeredgecolor='k', label='Depth=%d' % d)
    # 一些畫圖的基本引數
    plt.legend(loc='upper center', fontsize=12)
    plt.xlabel('X')
    plt.ylabel('Y')
    plt.grid(b=True, ls=':', color='#606060')
    plt.title('二次函式決策樹', fontsize=15)
    plt.tight_layout(2)
    plt.show()複製程式碼

參考資料

機器學習周志華

機器學習課程鄒博