演算法分析__級數求和

Enjoy_process發表於2019-03-05
演算法

                                                演算法分析__級數求和

 

 

 

1、算術級數：與末項平方同階

T(n)=1+2+3+...+n=n(n+1)=O(n^{2})

 

2、冪方級數：比冪次高出一階

T_{2}(n)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=n(n+1)(2n+1)/6=O(n^{3})

T_{3}(n)=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=n^{2}(n+1)^{2}/4=O(n^{4})

T_{4}(n)=1^{4}+2^{4}+3^{4}+...+n^{4}=n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)/30=O(n^{5})

...

\sum _{k=0}^{n}k^{d}\approx \int _{0}^{n}x^{d+1}dx=\frac{1}{d+1}x^{d+1}|_{0}^{n}=\frac{1}{d+1}n^{d+1}=O(n^{d+1})

 

3、幾何級數(a>1)：與末項同階

T_{a}(n)=a^{0}+a^{1}+a^{2}+...+a^{n}=(a^{n+1}-1)/(a-1))=O(a^{n})

1+2+4+...+2^{n}=2^{n+1}-1=O(2^{n+1})=O(2^{n})

 

4、收斂級數:O(1)

1/1/2+1/2/3+1/3/4+...+1/(n-1)/n=1-1/n=O(1)

1+1/2^{2}+...+1/n^{2}<1+1/2^{2}+...=\pi ^{2}/6=O(1)

1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+...=1=O(1)

 

5、調和級數

T(n)=1+1/2+1/3+...+1/n=O(logn)

 

6、對數級數

log1+log2+log3+...+logn=log(n!)=\Theta (nlogn)

 

 

 

 

 

 

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