[題解]CF1775E The Human Equation

WBIKPS發表於2024-11-27

來個另類解。

思路

手玩一下樣例，發現減法只會用在正數上，加法只會用在負數上，大概是因為如何在負數上用了減法或在正數上用了加法，都需要額外的次數去消掉。

然後注意到在兩個正數中間包這的所有負數可以直接縮成一個數，兩個負數中間包著的所有正數也可以直接縮成一個數。那麼現在的序列就變成了一個正負相間的序列了，對於每一次操作都可以直接打一個 tag。

考慮簡化操作，對於一個序列記其中絕對值最小的數為 \(x\)，那麼在 \(|x|\) 次操作後，所有絕對值為 \(|x|\) 的位置值都將變成 \(0\)。但是因為 \(0\) 的出現，會導致序列不再正負相間，因此可以用 set 維護，每一次刪除 \(|x|\) 的數，將其兩邊的數合在一起。複雜度 \(\Theta(n \log n)\)。

發現將兩邊的數 \(x,y\) 合在一起成為 \(x + y - tag\)，因為 \(x,y\) 均要減去一個 \(tag\)，但是單一元素只會減一個 \(tag\)。將這個模擬過程刻畫一下：將兩個正數合併的代價是中間的負數大小，將兩個負數合併的代價是中間正數的大小。

不妨定義 \(dp_i\) 表示包含第 \(i\) 個數的最大段的權值和，顯然有轉移 \(dp_i = \max(0,dp_{i - 2} - t_{i - 1}) + t_i\)，其中 \(t_i\) 表示將正數縮成一個點，負數縮成一個點過後的序列。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define re register
#define int long long
#define chmax(a,b) (a = max(a,b))

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
int n;
int num,arr[N],tmp[N],dp[N];

inline int read(){
    int r = 0,w = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9'){
        if (c == '-') w = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9'){
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return r * w;
}

#define check(x,y) (((x) <= 0 && (y) <= 0) || ((x) >= 0 && (y) >= 0))

inline void solve(){
    num = 0; n = read();
    for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i] = read();
    int lst = 0;
    for (re int i = 1;i <= n;i++){
        if (check(lst,arr[i])) lst += arr[i];
        else{
            tmp[++num] = abs(lst);
            lst = arr[i];
        }
    }
    if (lst) tmp[++num] = abs(lst);
    int ans = 0;
    for (re int i = 1;i <= num;i++){
        dp[i] = max(0ll,dp[i - 2] - tmp[i - 1]) + tmp[i];
        chmax(ans,dp[i]);
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

signed main(){
    int T; T = read();
    while (T--) solve();
    return 0;
}

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