Opinion dynamics analysis for stubborn individuals in cooperation–competition networks based on path-dependence framewor

hudad發表於2024-11-11

Opinion dynamics analysis for stubborn individuals in cooperation–competition networks based on path-dependence framework[1]

目錄
  • Opinion dynamics analysis for stubborn individuals in cooperation–competition networks based on path-dependence framework[1]
    • 一、Introduction
    • 二、預備知識
    • 三、主要結論
    • 3.1. \(G(W)\)結構不平衡
      • 3.1.1. Case 1:不存在完全頑固個體(\(0<\theta_i \leq 1,\forall i\)
      • 3.1.2. Case 2:存在完全頑固個體(\(\theta_i=0\)
    • 3.2. \(G(W)\)結構平衡
    • 3.3. 動態頑固性 \(1-\theta_i^s\)

一、Introduction

研究符號網路上一系列相關話題(路徑依賴,話題的初始意見是上一個話題的收斂意見)的F-J模型

經典的加權平均模型(DeGroot):

\[x_i(k+1)=\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j(k),\qquad \sum_{j=0}^nw_{ij}=1,\forall i. \]

F-J模型:

\[x_i(k+1)=\theta_i\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j(k)+(1-\theta_i)x_i(0), \]

模型:

\[x_i(s,k+1) = \theta_i\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j(s,k) + (1-\theta_i)\cdot x_i(s,0), \tag{1} \]

\(\theta_i\in [0,1]\),fully stubborn \(\theta_i = 0\),partially stubborn \(0<\theta_i<1\),non-stubborn \(\theta_i = 1\)

路徑依賴框架(path-dependence framework)

\[x_i(s+1,0) = x_i(s,+\infty)=\lim_{k\rightarrow +\infty}x_i(s,k), \tag{3} \]

下面會證明對於每一個話題s,意見都收斂

將鄰居區分為正負鄰居且寫成矩陣形式

\[x_i(s,k+1)=\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^+}}w_{ij}x_j(s,k)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^-}}w_{ij}x_j(s,k)+(1-\theta_i)\cdot x_i(s,0), \tag{2} \]

其中\(\mathcal{N_i^+}=\{j|w_{ij}>0 \},\mathcal{N_i^-} = \{j|w_{ij}<0\}.\)

進一步寫成

\[x_i(s,k+1)=\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^+}}w_{ij}x_j(s,k)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^-}}(-w_{ij})(-x_j(s,k))+(1-\theta_i)\cdot x_i(s,0), \tag{4} \]

定義\(x_i^+(s,k) = x_i(s,k),x_i^-(s,k)=-x_i(s,k)\),(4)式可以寫成

\[x_i^+(s,k+1) = (1-\theta_i)\cdot x_i^+(s,0)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^+}}w_{ij}x_j^+(s,k)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^-}}(-w_{ij})x_j^-(s,k) \tag{5a} \]

\[x_i^-(s,k+1) = (1-\theta_i)\cdot x_i^-(s,0)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^+}}w_{ij}x_j^-(s,k)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^-}}(-w_{ij})x_j^+(s,k) \tag{5b} \]

寫成矩陣形式,定義\(y^+(s,k)=[x_1^+(s,k),\ldots,x_n^+(s,k)]^T,y^-(s,k)=[x_1^-(s,k),\ldots,x_n^-(s,k)]^T,y(s,k)=[(y^+(s,k))^T,(y^-(s,k))^T]^T\).

\[y(s,k+1)=\begin{bmatrix} \Xi &0\\0&\Xi\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} W^+&W^-\\W^-&W^+\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} y^+(s,k)\\y^-(s,k) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} I_n-\Xi & 0\\ 0 & I_n-\Xi\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} y^+(s,0)\\y^-(s,0) \end{bmatrix},\tag{7} \]

其中

\[\Xi = diag\{\theta_i\},\quad(W^+)_{ij}=\left\{ \begin{array}{l} w_{ij}, & w_{ij} \geq 0 \\0, &w_{ij}\leq 0 \end{array} \right.,\quad(W^-)_{ij}=\left\{ \begin{array}{l} -w_{ij}, & w_{ij} \leq 0 \\0, &w_{ij}\geq 0 \end{array} \right. \]

式(7)進一步可寫成

\[z(s,k+1)=\begin{bmatrix}I_{2n} & 0\\ \Lambda & T \end{bmatrix}\cdot z(s,k),\tag{8} \]

其中\(z(s,k)=[((y(s,0))^T,(y(s,k))^T)]^T\in \mathbb{R}^{4n},\Lambda=I_{2}\otimes(I_n-\Xi),T=(I_2\otimes\Xi)\overline{W},\overline{W}=\begin{bmatrix} W^+&W^-\\W^-&W^+\end{bmatrix}\)

顯然矩陣\(T\)的代數性質影響節點的意見演變。為了得到矩陣\(T\)的代數性質,我們可以研究矩陣\(W\)以及網路\(G(W)\)\(G(T)\)之間的聯絡

中間輔助網路\(G(\overline{W})\)的節點集合\(\overline{V}=\{1^+,1^-,\ldots,n^+,n^-\}\).

二、預備知識

定義1:對於網路\(G=(V,\zeta,W)\),存在一個節點集合\(V\)的劃分\(\{V_1,V_2\},V_1\cup V_2=V,V_1\cap V_2 = \empty\)。權重矩陣\(W\)滿足\(w_{ij} \geq 0,\forall i,j \in V_k\)\(w_{ij} \leq 0,\forall i\in V_{k_1}, j\in V_{k_2},k_1 \neq k_2\) ,則稱網路\(G\)結構平衡,否則結構不平衡。

引理1:\(G(W)\)強連通,則

  • \(G(W)\)結構平衡 \(\iff\) \(G(\overline{W})\)非強連通,但由兩個強連通部分組成

  • \(G(W)\)結構不平衡 \(\iff\) \(G(\overline{W})\)強連通

\(proof:\)

在網路\(G(W)\)中存在\(i\)\(j\)的正邊(\(W_{ji}>0\)\(\iff\) 在網路\(G(\overline{W})\)中存在\(i^+\)\(j^+\)的邊和\(i^-\)\(j^-\)的邊(\(\overline{W}_{ji}>0\)\(\overline{W}_{(j+n)(i+n)}>0\)

在網路\(G(W)\)中存在\(i\)\(j\)的負邊(\(W_{ji}<0\)\(\iff\) 在網路\(G(\overline{W})\)中存在\(i^+\)\(j^-\)的邊和\(i^-\)\(j^+\)的邊(\(\overline{W}_{(j+n)i}>0\)\(\overline{W}_{j(i+n)}>0\)

  • \(G(W)\)結構平衡 \(\Rightarrow\) \(G(\overline{W})\)非強連通,但由兩個強連通部分組成

假設節點劃分為\(V_1 = \{1,\ldots,m\},V_2=\{m+1,\ldots,n\}\),容易證明\(\overline{V}_1=\{1^+,\ldots,m^+,(m+1)^-,\ldots,n^-\},\overline{V}_2=\{1^-,\dots,m^-,(m+1)^+,\ldots,n^+\}\)之間不存在連邊,且構成強連通部分。若\(\overline{V}_1,\overline{V}_2\)存在連邊,則\(V_1,V_2\)之間存在正邊或者\(V_i\)中存在負邊,與結構平衡矛盾。\(G(W)\)\(G(\overline{V}_1)\) 拓撲結構相同,故\(G(\overline{V}_1)\)強連通。

  • \(G(\overline{W})\)非強連通,但由兩個強連通部分組成 \(\Rightarrow\) \(G(W)\)結構平衡

假設\(G(\overline{W})\)的兩個強連通部分為\(\overline{V}_1,\overline{V}_2\),不妨假設\(1^+,\ldots,m^+\) 屬於\(\overline{V}_1\)\((m+1)^+,\ldots,n^+\)屬於\(\overline{V}_2\)可以證明\(1^-,\ldots,m^-\)屬於\(\overline{V}_2\)\((m+1)^-,\ldots,n^-\)屬於\(\overline{V}_1\)。否則,不失一般性,假設\(1^-\in\overline{V}_1\),由\(G(\overline{V}_1)\)強連通,存在\(1^+\)\(j^+\)\(j^+\)\(1^-\)的路徑\((j\in{2,\ldots,m})\),從而存在\(1^-\)\(j^-\)\(j^-\)\(1^+\)的路徑,既\(\overline{V}_1=\{1^+,\ldots,m^+,1^-,\ldots,m^-\}\)。同理\(\overline{V}_2=\{(m+1)^-,\dots,n^-,(m+1)^+,\ldots,n^+\}\)。而\(\overline{V}_1\)\(\overline{V}_2\)之間沒有連邊,與\(G(W)\)強連通矛盾。

  • \(G(\overline{W})\)強連通 \(\Rightarrow\)\(G(W)\)結構不平衡

\(G(W)\)結構平衡 \(\Rightarrow\) \(G(\overline{W})\)非強連通易證。

  • \(G(W)\)結構不平衡 \(\Rightarrow\) \(G(\overline{W})\)強連通

\(G(W)\)結構不平衡 \(\iff\) 存在一條\(k\)\(k\)的負環。\(\forall i \neq j\),由於\(G(W)\)強連通,存在一條\(i\)\(j\)的路徑(假設為正路徑)。從而\(G(\overline{W})\)存在\(i^+\)\(j^+\)\(i^-\)\(j^-\)的路徑,由於\(G(W)\)強連通和存在負環,存在一條\(j\)\(i\)的負walk。相應的,\(G(\overline{W})\)存在\(j^+\)\(i^-\)的walk,從而存在\(i^+\)\(j^+,i^-,j^-\)的walk(路徑),因此\(G(\overline{W})\)強連通。$ \blacksquare$

假設 1:符號網路\(G(W)\)強連通;n個節點,至少存在一個節點部分頑固(partially stubborn, \(0<\theta_i<1\))。

定義 2:模型(2)-(3),如果對任意初始意見\(x_i(0,0)\)\(\lim_{s\rightarrow \infty}x_i(s,0)=c_i,\forall i\in V\), 則稱節點的意見在話題維度上漸進收斂。

三、主要結論

3.1. \(G(W)\)結構不平衡

由引理1,\(G(\overline{W})\)強連通。

3.1.1. Case 1:不存在完全頑固個體(\(0<\theta_i \leq 1,\forall i\)

\(T = \begin{bmatrix} \Xi & 0\\ 0 & \Xi \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}W^+ & W^- \\ W^- & W^+ \end{bmatrix}\)\(\rho(T)<1\)。從而有\(\lim_{k\rightarrow\infty}(T)^k=0,lim_{k\rightarrow\infty}(\sum_{i=0}^k(T)^i=(I_{2n}-T)^{-1}\)。顯然,\(G(T)\)\(G(\overline{W})\)拓撲結構相同。

(8)式得

\[z(s,k)=\begin{bmatrix}I_{2n} & 0 \\ (\sum_{i=0}^{k-1}T^i)\Lambda &(T)^k \end{bmatrix}\cdot z(s,0) \Rightarrow \lim_{k\rightarrow\infty}z(s,k) = \begin{bmatrix}I_{2n} & 0 \\ (I_{2n}-T)^{-1}\Lambda & 0 \end{bmatrix}\cdot z(s,0) \]

從而

\[\lim_{k\rightarrow\infty}\begin{bmatrix} y^+(s,k)\\y^-(s,k) \end{bmatrix}=(I_{2n}-T)^{-1}\cdot\Lambda\cdot\begin{bmatrix}y^+(s,0)\\y^-(s,0) \end{bmatrix} \tag{11} \]

Remark 1:定義$\Phi =(I_{2n}-T)^{-1}\cdot\Lambda \(為話題轉移矩陣,易得\)\Phi\(為行隨機矩陣。由於\)G(T)\(強連通,\)(I_{2n}-T)^{-1}\(為正矩陣。下面分類討論矩陣\)\Lambda$。

Subcase 1(a):所有個體部分頑固(\(0<\theta_i<1,\forall i\)

\(\Phi\)為正矩陣,從而矩陣\(\Phi\)是SIA[2],即存在一個非負列向量\(v=[v_1,\ldots,v_{2n}]^T\)滿足\(\sum_{i=1}^{2n}v_i=1\),使得\(\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s=1_{2n}\cdot v^T\)。則

\[\lim_{s\rightarrow\infty}y(s,0)=\lim_{s\rightarrow\infty}[\lim_{k\rightarrow\infty}y(s-1,k)]=\lim_{s\rightarrow\infty}[(\Phi)^s\cdot y(0,0)]=1_{2n}\cdot v^T\cdot \begin{bmatrix}y^+(0,0)\\y^-(0,0) \end{bmatrix} \]

由於\(y^+(s,k)=-y^-(s,k)\),故\(\lim_{s\rightarrow\infty} y(s,0)=0\)

Subcase 1(b):存在\(n_0\)個非頑固個體(\(\theta_i = 1\)

透過轉置可得

\[\Phi = \begin{bmatrix}\Phi_{11} & 0 \\ \Phi_{21} & 0 \end{bmatrix},\Phi_{11} \in\mathbb{R}^{(2n-2n_0)\times(2n-2n_0)},\Phi_{21}\in\mathbb{R}^{2n\times(2n-2n_0)} \]

\((I_{2n}-T)^{-1}\)為正矩陣 \(\Rightarrow\) \(\Phi_{11},\Phi_{21}\)為正矩陣。同理存在一個非負列向量\(\bar{v}=[\bar{v}_1,\ldots,\bar{v}_{2n-2n_0}]^T\)滿足\(\sum_{i=1}^{2n-2n_0}\bar{v}_i=1\),使得\(\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi_{11})^s=1_{2n-2n_0}\cdot \bar{v}^T\)

\[\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s=\lim_{s\rightarrow\infty}\begin{bmatrix}(\Phi_{11})^s & 0\\ \Phi_{21}(\Phi_{11})^{s-1} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1_{2n-2n_0}\bar{v}^T & 0\\ 1_{2n_0}\bar{v}^T & 0 \end{bmatrix} \]

Remark 2:Case 1情況下,不管是否存在非頑固個體(\(\theta_i = 1\)),當\(s\rightarrow\infty\)意見都漸進收斂到零

3.1.2. Case 2:存在完全頑固個體(\(\theta_i=0\)

引理 2:\(G(W)\)強連通且結構不平衡,\(V_f = \{1,2,\ldots,n_1\}\)。則\(S_{G(T)}=\overline{V}_f=\{1^+,1^-,\ldots,n_1^+,n_1^-\}\),特別地,\(\forall j^*\in \overline{V}-S_{G(T)}\),存在一條\(i^*\in S_{G(T)}\)\(j^*\)的路徑。

\(proof:\)

顯然在網路\(G(T)\)中的完全頑固個體集合\(\overline{V}_f=\{1^+,1^-,\ldots,n_1^+,n_1^-\}\)\(T=(I_2\otimes\Xi)\overline{W}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{V}_f\subseteq S_{G(T)}\);若存在\(i^*_0\in S_{G(T)},i^*_0\notin\overline{V}_f\),由於\(\theta_{i^*_0} \neq 0\) ,在\(G(W)\)中存在的入邊,在\(G(T)\)中也存在,與\(i_0^*\)是源節點矛盾。

\(\forall j^*\in\overline{V}-S_{(G(T))}\),由\(G(\overline{W})\)的強連通性,存在一條\(i^*\in\overline{V}_f\)\(j^*\)的路徑\(P_{j^*i^*}=\{(i^*,i^*_1),(i^*_1,i^*_2),\ldots,(i^*_l,j^*) \}\),其中\(i^*_k\notin\overline{V}_f,\forall k\in\{1,2,\ldots,l\}\)。因此,路徑\(P_{j^*i^*}\)\(G(T)\)中也存在,證畢。\(\blacksquare\)

不失一般性,假設\(V_f=\{1,2,\ldots,n_1\}\)為完全頑固個體集合,\(G(T)\)相當於在\(G(\overline{W})\)的基礎上刪除一些節點所有的入邊。引理2給出\(G(T)\)的拓撲性質。

由引理2可知,\(G(T)\)存在\(2n_1\)個源節點,且對任意的非源節點,存在一條某個源節點到其的路徑。從而透過轉置,矩陣\(T\)可寫成

\[T=\begin{bmatrix} \mathbf{0}\\T_{21}&T_{22}\\\vdots &\vdots &\ddots\\T_{g1}& T_{g2}&\cdots&T_{gg} \end{bmatrix} \]

\(T_{ii}\)不可約,下證\(\rho(T)<1\)

由引理2可知,對任意的非源節點\(j\in\{n_1+1,\ldots,n\}\),存在某個源節點\(i\in\{1,\ldots,n_1\}\),存在一條路徑\(i\)\(j\),從而\((T^n)_{ji}>0\),即\(T^*_{k1}\)每一行都存在非零元素,從而\((T_{kk})^n\)是嚴格的次隨機矩陣,\(\rho(T^n)<1\)\(\rho(T)<1\)

\[T^n=\begin{bmatrix} \mathbf{0}\\T^*_{21}&(T_{22})^n\\\vdots &\vdots &\ddots\\T^*_{g1}& T^*_{g2}&\cdots&(T_{gg})^n \end{bmatrix} \]

\[\Phi = (I_{2n_1}-T)^{-1}\cdot \Lambda=(\sum_{i=0}^\infty T^i)\cdot\Lambda=\begin{bmatrix} I_{2n}\\\Phi_{21}&\Phi_{22}\\\vdots &\vdots &\ddots\\\Phi_{g1}& \Phi_{g2}&\cdots&\Phi_{gg} \end{bmatrix}\tag{18} \]

其中\(\rho(\Phi_{ii})<1\)\(\rho(\Phi)=1\)且模等於1的特徵值(此處只有1)的代數重數等於幾何重數(行隨機矩陣特徵值1的幾何重數等於代數重數),故\(\Phi^*=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s\)存在。

\[(\Phi)^s=\begin{bmatrix} I_{2n_1}\\(\Phi)^s_{21}&(\Phi)^s_{22}\\\vdots &\vdots &\ddots\\(\Phi)^s_{g1}& (\Phi)^s_{g2}&\cdots&(\Phi)^s_{gg} \end{bmatrix}\tag{19} \]

下面引理3給出了\(\Phi^*\)的具體形式

引理 3:\(G(W)\)強連通且結構不平衡,完全頑固節點集合\(V_f=\{1,2,\ldots,n_1\}\),則\(\Phi ^*\)行隨機且

\[\Phi^*=\begin{bmatrix} I_{2n_1}\\(\Phi ^*)_{21}&0\\\vdots &\vdots &\ddots\\(\Phi ^*)_{g1}& 0&\cdots&0 \end{bmatrix}\tag{20} \]

其中\((\Phi ^*)_{i1}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s_{i1},i\in\{2,\ldots,g\}\).

\(proof:\)

\(\rho(\Phi_{ii}<1)\) \(\Rightarrow\) \((\Phi ^*)_{ii}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s_{ii}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi_{ii})^s=0\)

下面考慮\((\Phi)^s_{i(i-1)},i\in\{3,\ldots,g\}\)

\[(\Phi)^{s+1}_{i(i-1)}=(\Phi)^{s}_{i(i-1)}\Phi_{(i-1)(i-1)}+(\Phi)^s_{ii}\Phi_{i(i-1)}\tag{22} \]

取極限

\[(\Phi)^{*}_{i(i-1)}=(\Phi)^{*}_{i(i-1)}\Phi_{(i-1)(i-1)}+0\cdot\Phi_{i(i-1)}\tag{23} \]

\((\Phi)^*_{i(i-1)}(I-\Phi_{(i-1)(i-1)}) = 0\)\(\rho(\Phi_{(i-1)(i-1)})<1\) \(\Rightarrow\) \((\Phi)^*_{i(i-1)}=0\)

進一步考慮\((\Phi)^s_{i(i-2)}\)

\[(\Phi)^{s+1}_{i(i-2)}=(\Phi)^{s}_{i(i-2)}\Phi_{(i-2)(i-2)}+(\Phi)^{s}_{i(i-1)}\Phi_{(i-1)(i-2)}+(\Phi)^s_{ii}\Phi_{i(i-2)}\tag{24} \]

取極限類似可得\((\Phi)^*_{i(i-2)}(I-\Phi_{(i-2)(i-2)}) = 0\)\(\rho(\Phi_{(i-2)(i-2)})<1\) \(\Rightarrow\) \((\Phi)^*_{i(i-2)}=0\)

遞迴可得\((\Phi^*)_{ij}=0,\forall i\in\{3,\ldots,g\},j\in\{2,\ldots,i-1\}\),證畢。\(\blacksquare\)

\(M=max\{x_1^+(0,0),x_1^-(0,0),\ldots,x_{n_1}^+(0,0),x_{n_1}^-(0,0)\},m=min\{x_1^+(0,0),x_1^-(0,0),\ldots,x_{n_1}^+(0,0),x_{n_1}^-(0,0)\}\),則\(M=-m\).

對於Case2,完全頑固節點的意見不變,其他節點的意見收斂於區間\([m,M]\)

定理 1:考慮模型(2)-(3),網路\(G(W)\)強連通且結構不平衡,假設1成立,則

  1. 如果不存在完全頑固的個體,當話題趨於無窮時,節點意見趨於0。
  2. 如果存在完全頑固個體\(V_f=\{1,2,\ldots,n_1\}\),當話題趨於無窮時,完全頑固個體意見不變,其他節點意見收斂於\([m,M]\)

下面推論1指出,在結構不平衡條件下意見二分一致的充要條件。

推論 1:考慮模型(2)-(3),網路\(G(W)\)強連通且結構不平衡,假設1成立。節點意見二分一致當且僅當存在一個唯一的完全頑固的平衡節點,節點\(i\)是平衡的指\(i\)\(j\)的所有路徑符號相等。

\(proof:\)

充分性:不失一般性,假設節點1是唯一的完全頑固的平衡節點,由引理2,\(S_{G(T)}=\overline{V}_f=\{1^+,1^-\}\)\(G(\overline{W})\)刪除節點\(1^+\)\(1^-\)的所有入邊就得到\(G(T)\)\(\forall i\neq 1\),記號\(i^*,i^{-*}\)定義為

\[i^* =\left\{ \begin{array}{l} i^+, & SGN_{p_{i1}}(G(W)) =1\\i^-, &SGN_{p_{i1}}(G(W)) =-1 \end{array} \right. \]

\[i^{-*} =\left\{ \begin{array}{l} i^-, & SGN_{p_{i1}}(G(W)) =1\\i^+, &SGN_{p_{i1}}(G(W)) =-1 \end{array} \right. \]

下證由節點集\(\overline{V}^+=\{1^+\}\cup\widetilde{V}^+\)\(\overline{V}^-=\{1^+\}\cup\widetilde{V}^-\)構成兩個不相交且包含生成樹的子網路\(G^+,G^-\)\(\widetilde{V}^+=\{2^*,\ldots,n^*\},\widetilde{V}^-=\{2^{-*},\dots,n^{-*} \}\)

\(G(W)\)強連通,對任意的節點\(i\neq 1\),存在1到\(i\)的路徑,根據引理2,\(G(T)\)中存在\(1^+\)\(i^*\)\(1^-\)\(i^{-*}\)的路徑,從而\(G^+(G^-)\)包含根節點為\(1^+(1^-)\)的生成樹。

假設\(G^+\)\(G^-\)之間存在連邊:

case i:存在節點\(1^+(1^-)\)到節點\(i^{-*}(i^{*})\)的連邊。不失一般性,假設\(i^{-*}=i^+\),即\(SGN_{p_{i1}}(G(W))=-1\)。由於\(G(T)\)中存在\(1^+\)\(i^+\)的連邊,從而\(G(W)\)中存在\(1\)\(i\)的正邊,與\(SGN_{p_{i1}}(G(W))=-1\)矛盾。

case ii:存在節點\(i^*\)到節點\(j^{-*}\)的連邊。不失一般性,假設\(i^{*}=i^-,j^{-*}=j^-\),即\(SGN_{p_{i1}}(G(W))=-1,SGN_{p_{j1}}(G(W))=1\)。由引理1,存在\(i^-\)\(j^-\)的連邊 \(\iff\) 存在\(i\)\(j\)的正邊,\(w_{ji}>0\)。又\(SGN_{p_{i1}}(G(W))=-1\),可得\(SGN_{p_{j1}}(G(W))=-1\),矛盾。

透過轉置變換,矩陣\(T=I_2\otimes\overline{T}\)

\[\overline{T} =\begin{bmatrix} 0\\\overline{T}_{21}&\overline{T}_{22}\\\vdots &\vdots &\ddots\\\overline{T}_{\bar{g}1}& \overline{T}_{\bar{g}2}&\cdots&\overline{T}_{\bar{g}\bar{g}} \end{bmatrix}\tag{27} \]

同理於定理1的Case2的,\(\overline{V}^+\)中節點收斂於完全頑固節點\(1^+\)的意見,\(\overline{V}^-\)中節點收斂於完全頑固節點\(1^-\)的意見,即節點意見二分一致。

必要性:假設意見二分一致。首先證明存在唯一的完全頑固節點,如果不存在完全節點,由定理1的Case1可知意見收斂於零,矛盾;由於完全頑固節點的意見不變,故完全頑固節點的個數小於2。

假設頑固節點1是不平衡的,即存在某個節點\(i_0\)和1到\(i_0\)的兩條長度為\(k_1,k_2\)的路徑\(P_1,P_2\),使得\(SGN_{P_1}(G(W))=1,SGN_{P_2}=-1\)。從而\((T^{k_1})_{i_o1}>0,(T^{k_2})_{i_0(1+n)}>0\)

\(\Phi=(\sum_{k=0}^\infty)T^k\cdot\Lambda\),從而\(\Phi_{i_01}>0,\Phi_{i_0(1+n)}\)

\[(\Phi^2)_{i_01}=\sum_{k=1}^{2n}(\Phi)_{i_0k}(\Phi)_{k1}\geq (\Phi)_{i_01}(\Phi)_{11}=(\Phi)_{i_01},\tag{29} \]

遞迴可得\((\Phi^s)_{i_01}\geq (\Phi)_{i_01}>0,(\Phi^s)_{i_0(1+n)}\geq (\Phi)_{i_0(1+n)}>0\)。由引理3可得

\[\left\{ \begin{array}{l} (\Phi^*)_{i_01}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi^s)_{i_01}>0 , \\(\Phi^*)_{i_0(1+n)}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi^s)_{i_0(1+n)}>0 , \\ (\Phi^*)_{i_0k}=0, k\neq 1,n+1 \end{array} \right.\tag{30} \]

其中\((\Phi^*)_{i_01}+(\Phi^*)_{i_0(1+n)}=1\)

\[\lim_{s\rightarrow\infty}x_{i_0}(s,0)=[(\Phi^*)_{i_01}-(\Phi^*)_{i_0(1+n)}]\cdot x_1(0,0)\in(-|x_1(0,0)|,|x_1(0,0) |)\tag{31} \]

與意見二分一致矛盾。證畢。\(\blacksquare\)

3.2. \(G(W)\)結構平衡

\(G(W)\)結構平衡,即存在節點集合劃分\(V_1 =\{1,\ldots,n_1\},V_2=\{n_1+1,\ldots,n \}\)。根據引理1,\(G(\overline{W})\)由兩個不相交的強連通部分組成,\(\overline{V}_1=\{1^+,\ldots,n_1^+,(n_1+1)^-,\ldots,n^- \},V_2=\{1^-,\ldots,n_1^-,(n_1+1)^+,\ldots,n^+ \}\)。對\({V}_1\)應用定理1可得

定理 2:考慮模型(2)-(3),網路\(G(W)\)強連通且結構平衡,假設1成立,則

  1. 如果不存在完全頑固的個體,當話題趨於無窮時,節點意見二分一致。
  2. 如果存在完全頑固個體\(V_{f_1}=\{1,2,\ldots,n_{f_1}\}\),當話題趨於無窮時,完全頑固個體意見不變,其他節點意見收斂於\([m_f,M_f]\)\(M_f=max(x_1(0,0),\ldots,x_{n_{f_1}}(0,0),-x_{n+1}(0,0),\ldots,-x_{n_{f_1}+n}(0,0))\)\(m_f=min(x_1(0,0),\ldots,x_{n_{f_1}}(0,0),-x_{n+1}(0,0),\ldots,-x_{n_{f_1}+n}(0,0))\),特別地,如果只有一個完全頑固個體,意見二分一致。

3.3. 動態頑固性 \(1-\theta_i^s\)

\[x_i(s,k+1) = \theta^s_i\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j(s,k) + (1-\theta^s_i)\cdot x_i(s,0), \tag{32} \]

引理 4:\(G(W)\)強連通且結構不平衡,在話題\(s_0\)中所有節點都是部分頑固的\(0<\theta_i^{s_0}<1\)。則矩陣\(\Phi_{s_0}=(I_{2n}-T_{s_0})^{-1}\cdot\Lambda_{s_0}\)存在,元素都為正,

\(T_{s_0}=(I_2\otimes \Xi_{s_0})\overline{W},\Lambda_{s_0}=I_2\otimes(I_n-\Xi_{s_0})\)

假設 2:對任意的話題\(s\),存在至少一個節點是部分頑固的。存在一個主題子序列\(\{s_k\}\)和正整數\(\tau\) ,使得對任意的\(s_k\)滿足\(\theta_i^{s_k}\in(0,1),\forall i\in V\)\(s_{(k+1)}-s_k<\tau\)

定理 3:考慮模型(32)和(3)。假設\(\theta_i^{s}\in\Omega\subset[0,1],|\Omega|<\infty,\forall i,s\)\(G(W)\)強連通和結構不平衡,假設2成立,則意見漸進收斂到零。

\(proof:\)

\(y(s+1,0)=\lim_{k\rightarrow\infty}y(s,k)=\Phi_s\cdot y(s,0),\forall s,y(s,0)=[(y^+(s,0))^T,(y^{-1}(s,0))^T]^T\).

對子序列\(\{y(s_k,0) \}\)

\[\left\{\begin{array}{l}y(s_1,0)&=\Phi_{s_1-1}\cdot\Phi_{s_1-2}\cdots\Phi_0\cdot y(0,0), \\ y(s_2,0)&=\Phi_{s_2-1}\cdot\Phi_{s_2-2}\cdots\Phi_{s_1}\cdot y(s_1,0),\\ &\vdots\\ y(s_k,0)&=\Phi_{s_k-1}\cdot\Phi_{s_k-2}\cdots\Phi_{s_{k-1}}\cdot y(s_{k-1},0),\\ &\vdots \tag{34} \end{array}\right. \]

定義\(H_k=\Phi_{s_k-1}\cdot\Phi_{s_k-2}\cdots\Phi_{s_{k-1}}\)。顯然\(H_k\)是正矩陣。\(H_k\)是SIA.

\[\Phi_s=(I_{2n}-T_s)^{-1}\cdot\Lambda_s=\left\{I_{2n}-\begin{bmatrix}\Xi_sW^+ &\Xi_s W^-\\\Xi_sW^- &\Xi_sW^+ \end{bmatrix} \right\}\cdot\begin{bmatrix} I_n-\Xi_s & \\&I_n-\Xi_s \end{bmatrix} \]

由於\(|\Omega|<\infty\)\(H_k\)的個數也是有限的。從而由引理3.2

\(\lim_{k\rightarrow\infty}\{H_k\cdot H_{k-1}\cdots H_2 \}=1_{2n}\cdot v^T\) \(\Rightarrow\) \(\lim_{k\rightarrow\infty}y(s_k,0)=1_{2n}\cdot v^T\cdot y(s_1,0)\).注意到\(y^+(s,0)=-y^-(s,0)\),故\(\lim_{k\rightarrow\infty}y(s_k,0)=0\)

對於任意得\(s\),存在\(s_k\leq s\leq s_{k+1}\)\(y(s,0)=\Phi_{s-1}\cdot\Phi_{s-2}\cdots\Phi_{s_k}\cdot y(s_k,0)\)

\[\begin{array}{l} \lim_{s\rightarrow\infty}\Vert y(s,0)\Vert_{\infty}&=\lim_{s\rightarrow\infty}\Vert\Phi_{s-1}\cdot\Phi_{s-2}\cdots\Phi_{s_k}\cdot y(s_k,0)\Vert_{\infty}\\ &\leq\lim_{s\rightarrow\infty}\Vert \Phi_{s-1}\Vert_{\infty}\cdots\Vert \Phi_{s_k}\Vert_{\infty}\cdot\Vert y(s_k,0)\Vert_{\infty}\\ &\leq\lim_{k\rightarrow\infty}\Vert y(s_k,0)\Vert_{\infty}=\mathbf{0}\in \mathbb{R}^{2n} \end{array} \]

證畢。\(\blacksquare\)

對於結構平衡的情況,可以類似得到


  1. Opinion dynamics analysis for stubborn individuals in cooperation-competition networks based on path-dependence framework ↩︎

  2. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies ↩︎

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