Opinion dynamics analysis for stubborn individuals in cooperation–competition networks based on path-dependence framewor

Opinion dynamics analysis for stubborn individuals in cooperation–competition networks based on path-dependence framework^[1]

目錄

• Opinion dynamics analysis for stubborn individuals in cooperation–competition networks based on path-dependence framework^[1]
  • 一、Introduction
  • 二、預備知識
  • 三、主要結論
  • 3.1. \(G(W)\)結構不平衡
    • 3.1.1. Case 1：不存在完全頑固個體（\(0<\theta_i \leq 1,\forall i\)）
    • 3.1.2. Case 2：存在完全頑固個體（\(\theta_i=0\)）
  • 3.2. \(G(W)\)結構平衡
  • 3.3. 動態頑固性 \(1-\theta_i^s\)

一、Introduction

研究符號網路上一系列相關話題（路徑依賴，話題的初始意見是上一個話題的收斂意見）的F-J模型

經典的加權平均模型(DeGroot)：

\[x_i(k+1)=\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j(k),\qquad \sum_{j=0}^nw_{ij}=1,\forall i. \]

F-J模型：

\[x_i(k+1)=\theta_i\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j(k)+(1-\theta_i)x_i(0), \]

模型：

\[x_i(s,k+1) = \theta_i\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j(s,k) + (1-\theta_i)\cdot x_i(s,0), \tag{1} \]

\(\theta_i\in [0,1]\)，fully stubborn \(\theta_i = 0\)，partially stubborn \(0<\theta_i<1\)，non-stubborn \(\theta_i = 1\)

路徑依賴框架（path-dependence framework）

\[x_i(s+1,0) = x_i(s,+\infty)=\lim_{k\rightarrow +\infty}x_i(s,k), \tag{3} \]

下面會證明對於每一個話題s，意見都收斂

將鄰居區分為正負鄰居且寫成矩陣形式

\[x_i(s,k+1)=\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^+}}w_{ij}x_j(s,k)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^-}}w_{ij}x_j(s,k)+(1-\theta_i)\cdot x_i(s,0), \tag{2} \]

其中\(\mathcal{N_i^+}=\{j|w_{ij}>0 \}，\mathcal{N_i^-} = \{j|w_{ij}<0\}.\)

進一步寫成

\[x_i(s,k+1)=\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^+}}w_{ij}x_j(s,k)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^-}}(-w_{ij})(-x_j(s,k))+(1-\theta_i)\cdot x_i(s,0), \tag{4} \]

定義\(x_i^+(s,k) = x_i(s,k)，x_i^-(s,k)=-x_i(s,k)\)，(4)式可以寫成

\[x_i^+(s,k+1) = (1-\theta_i)\cdot x_i^+(s,0)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^+}}w_{ij}x_j^+(s,k)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^-}}(-w_{ij})x_j^-(s,k) \tag{5a} \]

\[x_i^-(s,k+1) = (1-\theta_i)\cdot x_i^-(s,0)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^+}}w_{ij}x_j^-(s,k)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^-}}(-w_{ij})x_j^+(s,k) \tag{5b} \]

寫成矩陣形式，定義\(y^+(s,k)=[x_1^+(s,k),\ldots,x_n^+(s,k)]^T，y^-(s,k)=[x_1^-(s,k),\ldots,x_n^-(s,k)]^T，y(s,k)=[(y^+(s,k))^T,(y^-(s,k))^T]^T\).

\[y(s,k+1)=\begin{bmatrix} \Xi &0\\0&\Xi\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} W^+&W^-\\W^-&W^+\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} y^+(s,k)\\y^-(s,k) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} I_n-\Xi & 0\\ 0 & I_n-\Xi\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} y^+(s,0)\\y^-(s,0) \end{bmatrix},\tag{7} \]

其中

\[\Xi = diag\{\theta_i\},\quad(W^+)_{ij}=\left\{ \begin{array}{l} w_{ij}, & w_{ij} \geq 0 \\0, &w_{ij}\leq 0 \end{array} \right.,\quad(W^-)_{ij}=\left\{ \begin{array}{l} -w_{ij}, & w_{ij} \leq 0 \\0, &w_{ij}\geq 0 \end{array} \right. \]

式(7)進一步可寫成

\[z(s,k+1)=\begin{bmatrix}I_{2n} & 0\\ \Lambda & T \end{bmatrix}\cdot z(s,k),\tag{8} \]

其中\(z(s,k)=[((y(s,0))^T,(y(s,k))^T)]^T\in \mathbb{R}^{4n}，\Lambda=I_{2}\otimes(I_n-\Xi)，T=(I_2\otimes\Xi)\overline{W}，\overline{W}=\begin{bmatrix} W^+&W^-\\W^-&W^+\end{bmatrix}\)。

顯然矩陣\(T\)的代數性質影響節點的意見演變。為了得到矩陣\(T\)的代數性質，我們可以研究矩陣\(W\)以及網路\(G(W)\)與\(G(T)\)之間的聯絡。

中間輔助網路\(G(\overline{W})\)的節點集合\(\overline{V}=\{1^+,1^-,\ldots,n^+,n^-\}\).

二、預備知識

定義1：對於網路\(G=(V,\zeta,W)\)，存在一個節點集合\(V\)的劃分\(\{V_1,V_2\}，V_1\cup V_2=V，V_1\cap V_2 = \empty\)。權重矩陣\(W\)滿足\(w_{ij} \geq 0，\forall i,j \in V_k\) 和 \(w_{ij} \leq 0,\forall i\in V_{k_1}, j\in V_{k_2},k_1 \neq k_2\) ，則稱網路\(G\)結構平衡，否則結構不平衡。

引理1：\(G(W)\)強連通，則

• \(G(W)\)結構平衡 \(\iff\) \(G(\overline{W})\)非強連通，但由兩個強連通部分組成

• \(G(W)\)結構不平衡 \(\iff\) \(G(\overline{W})\)強連通

\(proof:\)

在網路\(G(W)\)中存在\(i\)到\(j\)的正邊（\(W_{ji}>0\)） \(\iff\) 在網路\(G(\overline{W})\)中存在\(i^+\)到\(j^+\)的邊和\(i^-\)到\(j^-\)的邊（\(\overline{W}_{ji}>0\)，\(\overline{W}_{(j+n)(i+n)}>0\)）

在網路\(G(W)\)中存在\(i\)到\(j\)的負邊（\(W_{ji}<0\)） \(\iff\) 在網路\(G(\overline{W})\)中存在\(i^+\)到\(j^-\)的邊和\(i^-\)到\(j^+\)的邊（\(\overline{W}_{(j+n)i}>0\)，\(\overline{W}_{j(i+n)}>0\)）

• \(G(W)\)結構平衡 \(\Rightarrow\) \(G(\overline{W})\)非強連通，但由兩個強連通部分組成

假設節點劃分為\(V_1 = \{1,\ldots,m\},V_2=\{m+1,\ldots,n\}\)，容易證明\(\overline{V}_1=\{1^+,\ldots,m^+,(m+1)^-,\ldots,n^-\},\overline{V}_2=\{1^-,\dots,m^-,(m+1)^+,\ldots,n^+\}\)之間不存在連邊，且構成強連通部分。若\(\overline{V}_1,\overline{V}_2\)存在連邊，則\(V_1,V_2\)之間存在正邊或者\(V_i\)中存在負邊，與結構平衡矛盾。\(G(W)\)與\(G(\overline{V}_1)\) 拓撲結構相同，故\(G(\overline{V}_1)\)強連通。

• \(G(\overline{W})\)非強連通，但由兩個強連通部分組成 \(\Rightarrow\) \(G(W)\)結構平衡

假設\(G(\overline{W})\)的兩個強連通部分為\(\overline{V}_1,\overline{V}_2\)，不妨假設\(1^+,\ldots,m^+\) 屬於\(\overline{V}_1\)，\((m+1)^+,\ldots,n^+\)屬於\(\overline{V}_2\)。可以證明\(1^-,\ldots,m^-\)屬於\(\overline{V}_2\)，\((m+1)^-,\ldots,n^-\)屬於\(\overline{V}_1\)。否則，不失一般性，假設\(1^-\in\overline{V}_1\)，由\(G(\overline{V}_1)\)強連通，存在\(1^+\)到\(j^+\)，\(j^+\)到\(1^-\)的路徑\((j\in{2,\ldots,m})\)，從而存在\(1^-\)到\(j^-\)，\(j^-\)到\(1^+\)的路徑，既\(\overline{V}_1=\{1^+,\ldots,m^+,1^-,\ldots,m^-\}\)。同理\(\overline{V}_2=\{(m+1)^-,\dots,n^-,(m+1)^+,\ldots,n^+\}\)。而\(\overline{V}_1\)與\(\overline{V}_2\)之間沒有連邊，與\(G(W)\)強連通矛盾。

• \(G(\overline{W})\)強連通 \(\Rightarrow\)\(G(W)\)結構不平衡

由\(G(W)\)結構平衡 \(\Rightarrow\) \(G(\overline{W})\)非強連通易證。

• \(G(W)\)結構不平衡 \(\Rightarrow\) \(G(\overline{W})\)強連通

\(G(W)\)結構不平衡 \(\iff\) 存在一條\(k\)到\(k\)的負環。\(\forall i \neq j\)，由於\(G(W)\)強連通，存在一條\(i\)到\(j\)的路徑（假設為正路徑）。從而\(G(\overline{W})\)存在\(i^+\)到\(j^+\)和\(i^-\)到\(j^-\)的路徑，由於\(G(W)\)強連通和存在負環，存在一條\(j\)到\(i\)的負walk。相應的，\(G(\overline{W})\)存在\(j^+\)到\(i^-\)的walk，從而存在\(i^+\)到\(j^+,i^-,j^-\)的walk（路徑），因此\(G(\overline{W})\)強連通。$ \blacksquare$

假設 1：符號網路\(G(W)\)強連通；n個節點，至少存在一個節點部分頑固(partially stubborn, \(0<\theta_i<1\))。

定義 2：模型(2)-(3)，如果對任意初始意見\(x_i(0,0)\) ，\(\lim_{s\rightarrow \infty}x_i(s,0)=c_i,\forall i\in V\)， 則稱節點的意見在話題維度上漸進收斂。

三、主要結論

3.1. \(G(W)\)結構不平衡

由引理1，\(G(\overline{W})\)強連通。

3.1.1. Case 1：不存在完全頑固個體（\(0<\theta_i \leq 1,\forall i\)）

\(T = \begin{bmatrix} \Xi & 0\\ 0 & \Xi \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}W^+ & W^- \\ W^- & W^+ \end{bmatrix}\)，\(\rho(T)<1\)。從而有\(\lim_{k\rightarrow\infty}(T)^k=0,lim_{k\rightarrow\infty}(\sum_{i=0}^k(T)^i=(I_{2n}-T)^{-1}\)。顯然，\(G(T)\)與\(G(\overline{W})\)拓撲結構相同。

(8)式得

\[z(s,k)=\begin{bmatrix}I_{2n} & 0 \\ (\sum_{i=0}^{k-1}T^i)\Lambda &(T)^k \end{bmatrix}\cdot z(s,0) \Rightarrow \lim_{k\rightarrow\infty}z(s,k) = \begin{bmatrix}I_{2n} & 0 \\ (I_{2n}-T)^{-1}\Lambda & 0 \end{bmatrix}\cdot z(s,0) \]

從而

\[\lim_{k\rightarrow\infty}\begin{bmatrix} y^+(s,k)\\y^-(s,k) \end{bmatrix}=(I_{2n}-T)^{-1}\cdot\Lambda\cdot\begin{bmatrix}y^+(s,0)\\y^-(s,0) \end{bmatrix} \tag{11} \]

Remark 1：定義$\Phi =(I_{2n}-T)^{-1}\cdot\Lambda \(為話題轉移矩陣，易得\)\Phi\(為行隨機矩陣。由於\)G(T)\(強連通，\)(I_{2n}-T)^{-1}\(為正矩陣。下面分類討論矩陣\)\Lambda$。

Subcase 1(a)：所有個體部分頑固（\(0<\theta_i<1,\forall i\)）

\(\Phi\)為正矩陣，從而矩陣\(\Phi\)是SIA^[2]，即存在一個非負列向量\(v=[v_1,\ldots,v_{2n}]^T\)滿足\(\sum_{i=1}^{2n}v_i=1\)，使得\(\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s=1_{2n}\cdot v^T\)。則

\[\lim_{s\rightarrow\infty}y(s,0)=\lim_{s\rightarrow\infty}[\lim_{k\rightarrow\infty}y(s-1,k)]=\lim_{s\rightarrow\infty}[(\Phi)^s\cdot y(0,0)]=1_{2n}\cdot v^T\cdot \begin{bmatrix}y^+(0,0)\\y^-(0,0) \end{bmatrix} \]

由於\(y^+(s,k)=-y^-(s,k)\)，故\(\lim_{s\rightarrow\infty} y(s,0)=0\)。

Subcase 1(b)：存在\(n_0\)個非頑固個體（\(\theta_i = 1\)）

透過轉置可得

\[\Phi = \begin{bmatrix}\Phi_{11} & 0 \\ \Phi_{21} & 0 \end{bmatrix},\Phi_{11} \in\mathbb{R}^{(2n-2n_0)\times(2n-2n_0)},\Phi_{21}\in\mathbb{R}^{2n\times(2n-2n_0)} \]

\((I_{2n}-T)^{-1}\)為正矩陣 \(\Rightarrow\) \(\Phi_{11},\Phi_{21}\)為正矩陣。同理存在一個非負列向量\(\bar{v}=[\bar{v}_1,\ldots,\bar{v}_{2n-2n_0}]^T\)滿足\(\sum_{i=1}^{2n-2n_0}\bar{v}_i=1\)，使得\(\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi_{11})^s=1_{2n-2n_0}\cdot \bar{v}^T\)

\[\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s=\lim_{s\rightarrow\infty}\begin{bmatrix}(\Phi_{11})^s & 0\\ \Phi_{21}(\Phi_{11})^{s-1} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1_{2n-2n_0}\bar{v}^T & 0\\ 1_{2n_0}\bar{v}^T & 0 \end{bmatrix} \]

Remark 2：Case 1情況下，不管是否存在非頑固個體(\(\theta_i = 1\))，當\(s\rightarrow\infty\)意見都漸進收斂到零

3.1.2. Case 2：存在完全頑固個體（\(\theta_i=0\)）

引理 2：\(G(W)\)強連通且結構不平衡，\(V_f = \{1,2,\ldots,n_1\}\)。則\(S_{G(T)}=\overline{V}_f=\{1^+,1^-,\ldots,n_1^+,n_1^-\}\)，特別地，\(\forall j^*\in \overline{V}-S_{G(T)}\)，存在一條\(i^*\in S_{G(T)}\)到\(j^*\)的路徑。

\(proof:\)

顯然在網路\(G(T)\)中的完全頑固個體集合\(\overline{V}_f=\{1^+,1^-,\ldots,n_1^+,n_1^-\}\) 。\(T=(I_2\otimes\Xi)\overline{W}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{V}_f\subseteq S_{G(T)}\)；若存在\(i^*_0\in S_{G(T)},i^*_0\notin\overline{V}_f\)，由於\(\theta_{i^*_0} \neq 0\) ，在\(G(W)\)中存在的入邊，在\(G(T)\)中也存在，與\(i_0^*\)是源節點矛盾。

\(\forall j^*\in\overline{V}-S_{(G(T))}\)，由\(G(\overline{W})\)的強連通性，存在一條\(i^*\in\overline{V}_f\)到\(j^*\)的路徑\(P_{j^*i^*}=\{(i^*,i^*_1),(i^*_1,i^*_2),\ldots,(i^*_l,j^*) \}\)，其中\(i^*_k\notin\overline{V}_f,\forall k\in\{1,2,\ldots,l\}\)。因此，路徑\(P_{j^*i^*}\)在\(G(T)\)中也存在，證畢。\(\blacksquare\)

不失一般性，假設\(V_f=\{1,2,\ldots,n_1\}\)為完全頑固個體集合，\(G(T)\)相當於在\(G(\overline{W})\)的基礎上刪除一些節點所有的入邊。引理2給出\(G(T)\)的拓撲性質。

由引理2可知，\(G(T)\)存在\(2n_1\)個源節點，且對任意的非源節點，存在一條某個源節點到其的路徑。從而透過轉置，矩陣\(T\)可寫成

\[T=\begin{bmatrix} \mathbf{0}\\T_{21}&T_{22}\\\vdots &\vdots &\ddots\\T_{g1}& T_{g2}&\cdots&T_{gg} \end{bmatrix} \]

\(T_{ii}\)不可約，下證\(\rho(T)<1\)，

由引理2可知，對任意的非源節點\(j\in\{n_1+1,\ldots,n\}\)，存在某個源節點\(i\in\{1,\ldots,n_1\}\)，存在一條路徑\(i\)到\(j\)，從而\((T^n)_{ji}>0\)，即\(T^*_{k1}\)每一行都存在非零元素，從而\((T_{kk})^n\)是嚴格的次隨機矩陣，\(\rho(T^n)<1\)，\(\rho(T)<1\)。

\[T^n=\begin{bmatrix} \mathbf{0}\\T^*_{21}&(T_{22})^n\\\vdots &\vdots &\ddots\\T^*_{g1}& T^*_{g2}&\cdots&(T_{gg})^n \end{bmatrix} \]

記

\[\Phi = (I_{2n_1}-T)^{-1}\cdot \Lambda=(\sum_{i=0}^\infty T^i)\cdot\Lambda=\begin{bmatrix} I_{2n}\\\Phi_{21}&\Phi_{22}\\\vdots &\vdots &\ddots\\\Phi_{g1}& \Phi_{g2}&\cdots&\Phi_{gg} \end{bmatrix}\tag{18} \]

其中\(\rho(\Phi_{ii})<1\)，\(\rho(\Phi)=1\)且模等於1的特徵值（此處只有1）的代數重數等於幾何重數（行隨機矩陣特徵值1的幾何重數等於代數重數），故\(\Phi^*=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s\)存在。

記

\[(\Phi)^s=\begin{bmatrix} I_{2n_1}\\(\Phi)^s_{21}&(\Phi)^s_{22}\\\vdots &\vdots &\ddots\\(\Phi)^s_{g1}& (\Phi)^s_{g2}&\cdots&(\Phi)^s_{gg} \end{bmatrix}\tag{19} \]

下面引理3給出了\(\Phi^*\)的具體形式

引理 3：\(G(W)\)強連通且結構不平衡，完全頑固節點集合\(V_f=\{1,2,\ldots,n_1\}\)，則\(\Phi ^*\)行隨機且

\[\Phi^*=\begin{bmatrix} I_{2n_1}\\(\Phi ^*)_{21}&0\\\vdots &\vdots &\ddots\\(\Phi ^*)_{g1}& 0&\cdots&0 \end{bmatrix}\tag{20} \]

其中\((\Phi ^*)_{i1}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s_{i1},i\in\{2,\ldots,g\}\).

\(proof:\)

\(\rho(\Phi_{ii}<1)\) \(\Rightarrow\) \((\Phi ^*)_{ii}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s_{ii}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi_{ii})^s=0\)

下面考慮\((\Phi)^s_{i(i-1)},i\in\{3,\ldots,g\}\)

\[(\Phi)^{s+1}_{i(i-1)}=(\Phi)^{s}_{i(i-1)}\Phi_{(i-1)(i-1)}+(\Phi)^s_{ii}\Phi_{i(i-1)}\tag{22} \]

取極限

\[(\Phi)^{*}_{i(i-1)}=(\Phi)^{*}_{i(i-1)}\Phi_{(i-1)(i-1)}+0\cdot\Phi_{i(i-1)}\tag{23} \]

得\((\Phi)^*_{i(i-1)}(I-\Phi_{(i-1)(i-1)}) = 0\)，\(\rho(\Phi_{(i-1)(i-1)})<1\) \(\Rightarrow\) \((\Phi)^*_{i(i-1)}=0\)

進一步考慮\((\Phi)^s_{i(i-2)}\)

\[(\Phi)^{s+1}_{i(i-2)}=(\Phi)^{s}_{i(i-2)}\Phi_{(i-2)(i-2)}+(\Phi)^{s}_{i(i-1)}\Phi_{(i-1)(i-2)}+(\Phi)^s_{ii}\Phi_{i(i-2)}\tag{24} \]

取極限類似可得\((\Phi)^*_{i(i-2)}(I-\Phi_{(i-2)(i-2)}) = 0\)，\(\rho(\Phi_{(i-2)(i-2)})<1\) \(\Rightarrow\) \((\Phi)^*_{i(i-2)}=0\)

遞迴可得\((\Phi^*)_{ij}=0,\forall i\in\{3,\ldots,g\},j\in\{2,\ldots,i-1\}\)，證畢。\(\blacksquare\)

記\(M=max\{x_1^+(0,0),x_1^-(0,0),\ldots,x_{n_1}^+(0,0),x_{n_1}^-(0,0)\},m=min\{x_1^+(0,0),x_1^-(0,0),\ldots,x_{n_1}^+(0,0),x_{n_1}^-(0,0)\}\),則\(M=-m\).

對於Case2，完全頑固節點的意見不變，其他節點的意見收斂於區間\([m,M]\)。

定理 1：考慮模型(2)-(3)，網路\(G(W)\)強連通且結構不平衡，假設1成立，則

1. 如果不存在完全頑固的個體，當話題趨於無窮時，節點意見趨於0。
2. 如果存在完全頑固個體\(V_f=\{1,2,\ldots,n_1\}\)，當話題趨於無窮時，完全頑固個體意見不變，其他節點意見收斂於\([m,M]\)。

下面推論1指出，在結構不平衡條件下意見二分一致的充要條件。

推論 1：考慮模型(2)-(3)，網路\(G(W)\)強連通且結構不平衡，假設1成立。節點意見二分一致當且僅當存在一個唯一的完全頑固的平衡節點，節點\(i\)是平衡的指\(i\)到\(j\)的所有路徑符號相等。

\(proof:\)

充分性：不失一般性，假設節點1是唯一的完全頑固的平衡節點，由引理2，\(S_{G(T)}=\overline{V}_f=\{1^+,1^-\}\)。\(G(\overline{W})\)刪除節點\(1^+\)和\(1^-\)的所有入邊就得到\(G(T)\)。\(\forall i\neq 1\)，記號\(i^*,i^{-*}\)定義為

\[i^* =\left\{ \begin{array}{l} i^+, & SGN_{p_{i1}}(G(W)) =1\\i^-, &SGN_{p_{i1}}(G(W)) =-1 \end{array} \right. \]

\[i^{-*} =\left\{ \begin{array}{l} i^-, & SGN_{p_{i1}}(G(W)) =1\\i^+, &SGN_{p_{i1}}(G(W)) =-1 \end{array} \right. \]

下證由節點集\(\overline{V}^+=\{1^+\}\cup\widetilde{V}^+\)和 \(\overline{V}^-=\{1^+\}\cup\widetilde{V}^-\)構成兩個不相交且包含生成樹的子網路\(G^+,G^-\)，\(\widetilde{V}^+=\{2^*,\ldots,n^*\},\widetilde{V}^-=\{2^{-*},\dots,n^{-*} \}\)。

\(G(W)\)強連通，對任意的節點\(i\neq 1\)，存在1到\(i\)的路徑，根據引理2，\(G(T)\)中存在\(1^+\)到\(i^*\)和\(1^-\)到\(i^{-*}\)的路徑，從而\(G^+(G^-)\)包含根節點為\(1^+(1^-)\)的生成樹。

假設\(G^+\)與\(G^-\)之間存在連邊：

case i：存在節點\(1^+(1^-)\)到節點\(i^{-*}(i^{*})\)的連邊。不失一般性，假設\(i^{-*}=i^+\)，即\(SGN_{p_{i1}}(G(W))=-1\)。由於\(G(T)\)中存在\(1^+\)到\(i^+\)的連邊，從而\(G(W)\)中存在\(1\)到\(i\)的正邊，與\(SGN_{p_{i1}}(G(W))=-1\)矛盾。

case ii：存在節點\(i^*\)到節點\(j^{-*}\)的連邊。不失一般性，假設\(i^{*}=i^-,j^{-*}=j^-\)，即\(SGN_{p_{i1}}(G(W))=-1,SGN_{p_{j1}}(G(W))=1\)。由引理1，存在\(i^-\)到\(j^-\)的連邊 \(\iff\) 存在\(i\)到\(j\)的正邊，\(w_{ji}>0\)。又\(SGN_{p_{i1}}(G(W))=-1\)，可得\(SGN_{p_{j1}}(G(W))=-1\)，矛盾。

透過轉置變換，矩陣\(T=I_2\otimes\overline{T}\)

\[\overline{T} =\begin{bmatrix} 0\\\overline{T}_{21}&\overline{T}_{22}\\\vdots &\vdots &\ddots\\\overline{T}_{\bar{g}1}& \overline{T}_{\bar{g}2}&\cdots&\overline{T}_{\bar{g}\bar{g}} \end{bmatrix}\tag{27} \]

同理於定理1的Case2的，\(\overline{V}^+\)中節點收斂於完全頑固節點\(1^+\)的意見，\(\overline{V}^-\)中節點收斂於完全頑固節點\(1^-\)的意見，即節點意見二分一致。

必要性：假設意見二分一致。首先證明存在唯一的完全頑固節點，如果不存在完全節點，由定理1的Case1可知意見收斂於零，矛盾；由於完全頑固節點的意見不變，故完全頑固節點的個數小於2。

假設頑固節點1是不平衡的，即存在某個節點\(i_0\)和1到\(i_0\)的兩條長度為\(k_1,k_2\)的路徑\(P_1,P_2\)，使得\(SGN_{P_1}(G(W))=1,SGN_{P_2}=-1\)。從而\((T^{k_1})_{i_o1}>0,(T^{k_2})_{i_0(1+n)}>0\)。

又\(\Phi=(\sum_{k=0}^\infty)T^k\cdot\Lambda\)，從而\(\Phi_{i_01}>0,\Phi_{i_0(1+n)}\)。

\[(\Phi^2)_{i_01}=\sum_{k=1}^{2n}(\Phi)_{i_0k}(\Phi)_{k1}\geq (\Phi)_{i_01}(\Phi)_{11}=(\Phi)_{i_01},\tag{29} \]

遞迴可得\((\Phi^s)_{i_01}\geq (\Phi)_{i_01}>0,(\Phi^s)_{i_0(1+n)}\geq (\Phi)_{i_0(1+n)}>0\)。由引理3可得

\[\left\{ \begin{array}{l} (\Phi^*)_{i_01}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi^s)_{i_01}>0 , \\(\Phi^*)_{i_0(1+n)}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi^s)_{i_0(1+n)}>0 , \\ (\Phi^*)_{i_0k}=0, k\neq 1,n+1 \end{array} \right.\tag{30} \]

其中\((\Phi^*)_{i_01}+(\Phi^*)_{i_0(1+n)}=1\)。

\[\lim_{s\rightarrow\infty}x_{i_0}(s,0)=[(\Phi^*)_{i_01}-(\Phi^*)_{i_0(1+n)}]\cdot x_1(0,0)\in(-|x_1(0,0)|,|x_1(0,0) |)\tag{31} \]

與意見二分一致矛盾。證畢。\(\blacksquare\)

3.2. \(G(W)\)結構平衡

\(G(W)\)結構平衡，即存在節點集合劃分\(V_1 =\{1,\ldots,n_1\},V_2=\{n_1+1,\ldots,n \}\)。根據引理1，\(G(\overline{W})\)由兩個不相交的強連通部分組成，\(\overline{V}_1=\{1^+,\ldots,n_1^+,(n_1+1)^-,\ldots,n^- \},V_2=\{1^-,\ldots,n_1^-,(n_1+1)^+,\ldots,n^+ \}\)。對\({V}_1\)應用定理1可得

定理 2：考慮模型(2)-(3)，網路\(G(W)\)強連通且結構平衡，假設1成立，則

1. 如果不存在完全頑固的個體，當話題趨於無窮時，節點意見二分一致。
2. 如果存在完全頑固個體\(V_{f_1}=\{1,2,\ldots,n_{f_1}\}\)，當話題趨於無窮時，完全頑固個體意見不變，其他節點意見收斂於\([m_f,M_f]\)，\(M_f=max(x_1(0,0),\ldots,x_{n_{f_1}}(0,0),-x_{n+1}(0,0),\ldots,-x_{n_{f_1}+n}(0,0))\)，\(m_f=min(x_1(0,0),\ldots,x_{n_{f_1}}(0,0),-x_{n+1}(0,0),\ldots,-x_{n_{f_1}+n}(0,0))\)，特別地，如果只有一個完全頑固個體，意見二分一致。

3.3. 動態頑固性 \(1-\theta_i^s\)

\[x_i(s,k+1) = \theta^s_i\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j(s,k) + (1-\theta^s_i)\cdot x_i(s,0), \tag{32} \]

引理 4：\(G(W)\)強連通且結構不平衡，在話題\(s_0\)中所有節點都是部分頑固的\(0<\theta_i^{s_0}<1\)。則矩陣\(\Phi_{s_0}=(I_{2n}-T_{s_0})^{-1}\cdot\Lambda_{s_0}\)存在，元素都為正，

\(T_{s_0}=(I_2\otimes \Xi_{s_0})\overline{W},\Lambda_{s_0}=I_2\otimes(I_n-\Xi_{s_0})\)。

假設 2：對任意的話題\(s\)，存在至少一個節點是部分頑固的。存在一個主題子序列\(\{s_k\}\)和正整數\(\tau\) ，使得對任意的\(s_k\)滿足\(\theta_i^{s_k}\in(0,1),\forall i\in V\)，\(s_{(k+1)}-s_k<\tau\)。

定理 3：考慮模型(32)和(3)。假設\(\theta_i^{s}\in\Omega\subset[0,1],|\Omega|<\infty,\forall i,s\)，\(G(W)\)強連通和結構不平衡，假設2成立，則意見漸進收斂到零。

\(proof:\)

\(y(s+1,0)=\lim_{k\rightarrow\infty}y(s,k)=\Phi_s\cdot y(s,0),\forall s,y(s,0)=[(y^+(s,0))^T,(y^{-1}(s,0))^T]^T\).

對子序列\(\{y(s_k,0) \}\)有

\[\left\{\begin{array}{l}y(s_1,0)&=\Phi_{s_1-1}\cdot\Phi_{s_1-2}\cdots\Phi_0\cdot y(0,0), \\ y(s_2,0)&=\Phi_{s_2-1}\cdot\Phi_{s_2-2}\cdots\Phi_{s_1}\cdot y(s_1,0),\\ &\vdots\\ y(s_k,0)&=\Phi_{s_k-1}\cdot\Phi_{s_k-2}\cdots\Phi_{s_{k-1}}\cdot y(s_{k-1},0),\\ &\vdots \tag{34} \end{array}\right. \]

定義\(H_k=\Phi_{s_k-1}\cdot\Phi_{s_k-2}\cdots\Phi_{s_{k-1}}\)。顯然\(H_k\)是正矩陣。\(H_k\)是SIA.

\[\Phi_s=(I_{2n}-T_s)^{-1}\cdot\Lambda_s=\left\{I_{2n}-\begin{bmatrix}\Xi_sW^+ &\Xi_s W^-\\\Xi_sW^- &\Xi_sW^+ \end{bmatrix} \right\}\cdot\begin{bmatrix} I_n-\Xi_s & \\&I_n-\Xi_s \end{bmatrix} \]

由於\(|\Omega|<\infty\)，\(H_k\)的個數也是有限的。從而由引理3.2

得\(\lim_{k\rightarrow\infty}\{H_k\cdot H_{k-1}\cdots H_2 \}=1_{2n}\cdot v^T\) \(\Rightarrow\) \(\lim_{k\rightarrow\infty}y(s_k,0)=1_{2n}\cdot v^T\cdot y(s_1,0)\).注意到\(y^+(s,0)=-y^-(s,0)\)，故\(\lim_{k\rightarrow\infty}y(s_k,0)=0\)。

對於任意得\(s\)，存在\(s_k\leq s\leq s_{k+1}\)，\(y(s,0)=\Phi_{s-1}\cdot\Phi_{s-2}\cdots\Phi_{s_k}\cdot y(s_k,0)\)

\[\begin{array}{l} \lim_{s\rightarrow\infty}\Vert y(s,0)\Vert_{\infty}&=\lim_{s\rightarrow\infty}\Vert\Phi_{s-1}\cdot\Phi_{s-2}\cdots\Phi_{s_k}\cdot y(s_k,0)\Vert_{\infty}\\ &\leq\lim_{s\rightarrow\infty}\Vert \Phi_{s-1}\Vert_{\infty}\cdots\Vert \Phi_{s_k}\Vert_{\infty}\cdot\Vert y(s_k,0)\Vert_{\infty}\\ &\leq\lim_{k\rightarrow\infty}\Vert y(s_k,0)\Vert_{\infty}=\mathbf{0}\in \mathbb{R}^{2n} \end{array} \]

證畢。\(\blacksquare\)

對於結構平衡的情況，可以類似得到

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1. Opinion dynamics analysis for stubborn individuals in cooperation-competition networks based on path-dependence framework ↩︎

2. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies ↩︎