圖的儲存

春日不曾謀面發表於2023-04-19

所謂圖（graph），是圖論中基本的數學物件，包括一些頂點，和連線頂點的邊。

圖可以分為有向圖和無向圖，有向圖中的邊是有方向的，而無向圖的邊是雙向連通的。

  • 鄰接矩陣 (適用於稠密圖)

用一個二維陣列來記錄各個點之間的關係，若u到v之間有一條邊則可用map[u][v]=1來表示，具體如下

對應的無向圖為

對於帶權圖 將1改成權值即可

鄰接矩陣的優點顯而易見：簡單好寫，查詢速度快。但缺點也很明顯：空間複雜度太高了。 n個點對應大小 n^2的陣列，如果點的數量達到10000，這種方法就完全不可行了。

  • 鄰接表

首先，我們用一個結構體vector儲存每個邊的起點和終點，然後用一個二維vector儲存邊的資訊。

用map[a][b]=c 來表示頂點為a的第b條邊是c號邊

以下面為例:

8 9

1 2 //0號邊

1 3 //1號邊

1 4 //2號邊

2 5 //3號邊

2 6 //4號邊

3 7 //5號邊

4 7 //6號邊

4 8 //7號邊

7 8 //8號邊

 

最終二維vector中儲存的是如下資訊

0 1 2 //1號頂點連著0、1、2號邊

3 4  //2號頂點連著3、4號邊

5 　 //3號頂點連著5號邊

6 7 //4號頂點連著6、7號邊

    //5號頂點沒有邊

　  //6號頂點沒有邊

8  //7號頂點連著8號邊

   //8號頂點沒有邊

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<vector>
 4 using namespace std;
 5 
 6 struct edge {
 7     int st, ed; 
 8 };
 9 vector <int> map[100001];  
10 vector <edge> vec;  
11 int main() {
12 
13     int n, m;
14     cin >> n >> m; 
15     for (int i = 0; i < m; i++) { 
16         int st, ed;
17         cin >> st >> ed;
18         vec.push_back({ st, ed }); //初始化存邊的s陣列  
19     }
20 
21     for (int i = 0; i < m; i++)
22         map[vec[i].st].push_back(i);
23     //初始化map陣列，vec[i].st表示頂點，在該頂點加入其對應的邊
24 
25     return 0;
26 }

如何去遍歷呢？

x表示頂點

map[x].size()表示該頂點具有邊的個數

map[x][i]表示x頂點的第i條邊是哪一條邊

vec[map[x][i]].ed 表示x頂點的第i條邊的邊的終點

以該圖為例:

map[1][0]表示 0 號邊 map[2][0]表示第3條邊 map[4[1]表示第8條邊

那麼vec[map[1][0]].st就等於2號頂點

 1 void dfs(int x) {         
 2     cout << x<<" ";
 3 
 4     for (int i = 0; i < map[x].size(); i++)
 5     {
 6         int j = vec[map[x][i]].ed;  
 7         if (!st[j])
 8         {
 9             st[j] = 1;
10             dfs(j);
11         }
12     }
13 }

 

  • 鏈式前向星   (h陣列初始化為-1)

idx是邊的編號，a是邊的起點，b是邊的終點
e[idx] 存idx號邊指向的點。
h[a] 存從a號點出發的某一條邊的編號
ne[idx] 存idx號邊(起點為a)的上一條邊（也是以a為起點的）
i=ne[i]迴圈遍歷所有從a出發的邊

 

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

輸出鄰接表:

1:->4->7->2
2:->5->8->1
3:->9->4
4:->6->3->1
5:->2
6:->4
7:->1
8:->2
9:->3

對比原圖

節點的編號是指上圖所畫的樹中節點的值，範圍是從1->n,編號用e[i]陣列儲存。

節點的下標指節點在陣列中的位置索引，陣列之間的關係就是透過下標來建立連線，下標用idx來記錄。idx範圍從0開始，如果idx==-1表示空。

e[i]的值是編號，是下標為i節點的編號。

ne[i]的值是下標，是下標為i的節點的next節點的下標。

h[i]儲存的是下標，是編號為i的節點的next節點的下標，比如編號為1的節點的下一個節點是2，那麼我輸出e[h[1]]就是2。

 

鏈式前向星是一種常用的圖儲存方式，其主要優點如下：

1. 空間利用率高：鏈式前向星只需儲存邊資訊，相對於鄰接矩陣等其他圖儲存方式，可以大大節約空間。

2. 支援動態圖：鏈式前向星在插入和刪除邊時具有較好的效率，支援實時更新圖。

3. 方便遍歷所有與某個點相鄰的邊：鏈式前向星透過一個陣列來記錄每個點最後一條邊的位置，逐個遍歷這些邊即可找到所有與該點相鄰的邊。

4. 較好的靈活性和擴充套件性：鏈式前向星可以靈活地新增額外資訊，比如權重、流量等，並且方便擴充套件到更復雜的圖演算法中。



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