卷積神經網路系列之softmax，softmax loss和cross entropy的講解

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我們知道卷積神經網路（CNN）在影象領域的應用已經非常廣泛了，一般一個CNN網路主要包含卷積層，池化層（pooling），全連線層，損失層等。雖然現在已經開源了很多深度學習框架（比如MxNet，Caffe等），訓練一個模型變得非常簡單，但是你對這些層具體是怎麼實現的瞭解嗎？你對softmax，softmax loss，cross entropy瞭解嗎？相信很多人不一定清楚。雖然網上的資料很多，但是質量參差不齊，常常看得眼花繚亂。為了讓大家少走彎路，特地整理了下這些知識點的來龍去脈，希望不僅幫助自己鞏固知識，也能幫到他人理解這些內容。

這一篇主要介紹全連線層和損失層的內容，算是網路裡面比較基礎的一塊內容。先理清下從全連線層到損失層之間的計算。來看下面這張圖，來自參考資料1（自己實在懶得畫圖了）。

這張圖的等號左邊部分就是全連線層做的事，W是全連線層的引數，我們也稱為權值，X是全連線層的輸入，也就是特徵。從圖上可以看出特徵X是N*1的向量，這是怎麼得到的呢？這個特徵就是由全連線層前面多個卷積層和池化層處理後得到的，假設全連線層前面連線的是一個卷積層，這個卷積層的輸出是100個特徵（也就是我們常說的feature map的channel為100），每個特徵的大小是4*4，那麼在將這些特徵輸入給全連線層之前會將這些特徵flat成N*1的向量（這個時候N就是100*4*4=1600）。解釋完X，再來看W，W是全連線層的引數，是個T*N的矩陣，這個N和X的N對應，T表示類別數，比如你是7分類，那麼T就是7。我們所說的訓練一個網路，對於全連線層而言就是尋找最合適的W矩陣。因此全連線層就是執行WX得到一個T*1的向量（也就是圖中的logits[T*1]），這個向量裡面的每個數都沒有大小限制的，也就是從負無窮大到正無窮大。然後如果你是多分類問題，一般會在全連線層後面接一個softmax層，這個softmax的輸入是T*1的向量，輸出也是T*1的向量（也就是圖中的prob[T*1]，這個向量的每個值表示這個樣本屬於每個類的概率），只不過輸出的向量的每個值的大小範圍為0到1。

現在你知道softmax的輸出向量是什麼意思了，就是概率，該樣本屬於各個類的概率！

那麼softmax執行了什麼操作可以得到0到1的概率呢？先來看看softmax的公式（以前自己看這些內容時候對公式也很反感，不過靜下心來看就好了）：

公式非常簡單，前面說過softmax的輸入是WX，假設模型的輸入樣本是I，討論一個3分類問題（類別用1，2，3表示），樣本I的真實類別是2，那麼這個樣本I經過網路所有層到達softmax層之前就得到了WX，也就是說WX是一個3*1的向量，那麼上面公式中的aj就表示這個3*1的向量中的第j個值（最後會得到S1，S2，S3）；而分母中的ak則表示3*1的向量中的3個值，所以會有個求和符號（這裡求和是k從1到T，T和上面圖中的T是對應相等的，也就是類別數的意思，j的範圍也是1到T）。因為e^x恆大於0，所以分子永遠是正數，分母又是多個正數的和，所以分母也肯定是正數，因此Sj是正數，而且範圍是(0,1)。如果現在不是在訓練模型，而是在測試模型，那麼當一個樣本經過softmax層並輸出一個T*1的向量時，就會取這個向量中值最大的那個數的index作為這個樣本的預測標籤。

因此我們訓練全連線層的W的目標就是使得其輸出的WX在經過softmax層計算後其對應於真實標籤的預測概率要最高。

舉個例子：假設你的WX=[1,2,3]，那麼經過softmax層後就會得到[0.09,0.24,0.67]，這三個數字表示這個樣本屬於第1,2,3類的概率分別是0.09,0.24,0.67。

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弄懂了softmax，就要來說說softmax loss了。 
那softmax loss是什麼意思呢?如下：

首先L是損失。Sj是softmax的輸出向量S的第j個值，前面已經介紹過了，表示的是這個樣本屬於第j個類別的概率。yj前面有個求和符號，j的範圍也是1到類別數T，因此y是一個1*T的向量，裡面的T個值，而且只有1個值是1，其他T-1個值都是0。那麼哪個位置的值是1呢？答案是真實標籤對應的位置的那個值是1，其他都是0。所以這個公式其實有一個更簡單的形式：

當然此時要限定j是指向當前樣本的真實標籤。

來舉個例子吧。假設一個5分類問題，然後一個樣本I的標籤y=[0,0,0,1,0]，也就是說樣本I的真實標籤是4，假設模型預測的結果概率（softmax的輸出）p=[0.1,0.15,0.05,0.6,0.1]，可以看出這個預測是對的，那麼對應的損失L=-log(0.6)，也就是當這個樣本經過這樣的網路引數產生這樣的預測p時，它的損失是-log(0.6)。那麼假設p=[0.15,0.2,0.4,0.1,0.15]，這個預測結果就很離譜了，因為真實標籤是4，而你覺得這個樣本是4的概率只有0.1（遠不如其他概率高，如果是在測試階段，那麼模型就會預測該樣本屬於類別3），對應損失L=-log(0.1)。那麼假設p=[0.05,0.15,0.4,0.3,0.1]，這個預測結果雖然也錯了，但是沒有前面那個那麼離譜，對應的損失L=-log(0.3)。我們知道log函式在輸入小於1的時候是個負數，而且log函式是遞增函式，所以-log(0.6) < -log(0.3) < -log(0.1)。簡單講就是你預測錯比預測對的損失要大，預測錯得離譜比預測錯得輕微的損失要大。

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理清了softmax loss，就可以來看看cross entropy了。 
corss entropy是交叉熵的意思，它的公式如下：

是不是覺得和softmax loss的公式很像。當cross entropy的輸入P是softmax的輸出時，cross entropy等於softmax loss。Pj是輸入的概率向量P的第j個值，所以如果你的概率是通過softmax公式得到的，那麼cross entropy就是softmax loss。這是我自己的理解，如果有誤請糾正。
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作者：AI之路 
來源：CSDN 
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