作者:小傅哥
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原始碼:https://github.com/fuzhengwei...
沉澱、分享、成長,讓自己和他人都能有所收穫!?
一、前言
嘿,小傅哥怎麼突然講到最大公約數了?
這麼想你肯定是沒有好好閱讀前面章節中小傅哥講到的RSA演算法,對於與尤拉結果計算的互為質數的公鑰e,其實就需要使用到輾轉相除法來計算出最大公約數。
放心,你所有寫的程式碼,都是對數學邏輯的具體實現,無非是難易不同罷了。所以如果你真的想學好程式設計思維而不只是CRUD,那就要把資料結構、演算法邏輯等根基打牢。
二、短除法
既然都說到這了,那你還記得怎麼計算最大公約數嗎,死鬼?
以上這種方式就是我們在上學階段學習的,這種計算方式叫做短除法。
短除法:是算術中除法的演算法,將除法轉換成一連串的運算。短除法是由長除法簡化而來,當中會用到心算,因此除數較小的除法比較適用短除法。對大部分的人而言,若除以12或12以下的數,可以用記憶中乘法表的內容,用心算來進行短除法。也有些人可以處理除數更大的短除法。—— 來自維基百科
三、歐幾里德演算法
短除法能解決計算最大公約數的問題,但放到程式編寫中總是很彆扭,總不能一個個數字去試算,這就顯得很鬧挺。其實除了短除法還有一種是計算公約數的辦法,叫做歐幾里德演算法。
歐幾里德演算法:是計算兩個整數(數字)的最大公約數【GCD(Greatest Common Divisor)】的有效方法,即能將它們整除而無餘數的最大數。它以古希臘數學家 歐幾里得的名字命名,歐幾里德在他的幾何原本(約公元前 300 年)中首次描述了它。它是演算法的示例,是根據明確定義的規則執行計算的分步過程,並且是常用的最古老的演算法之一。它可以用來減少分數到他們的最簡單的形式,並且是許多其他數論和密碼計算的一部分。—— 來自維基百科
GCD,代表了兩個數字的最大公約數,GCD(X,Y) = Z,那麼就表示 X 和 Y 的最大公約數是 Z。由歐幾里德演算法給出 GCD(X,Y) = GCD(Y,XmodY) —— mod 表示求模計算餘數。
其實簡單來說就是,X和Y的公約數是Z,那麼Y和Z的公約數也是Z。24和18的最大公約數是6,那麼18和6的公約數也是6。嘿,就這麼一個事。但就因為有了這一樣一條推論,讓程式設計程式碼變得優雅舒服,只需要不斷地將X、Y兩數作差,就能計算最大公約數。
? 這讓小傅哥想起,多年前上學時候,我也給出過一條推論;”任意一組所能構成等差數列的三個數字,所能組合出來的一個三位數,都能被3整除。“ 例如:等差數列 16
、31
、46
組合成三位數 463116
或者 461631
都能被3整除。
四、輾轉相除法程式碼實現
歐幾里德演算法 = 輾轉相除法法:https://en.wikipedia.org/wiki...
在輾轉相除法的實現中,計算最大公約數的方式,就是使用一個數字減去另外一個數字,直到兩個數字相同或者有其中一個數字為0,那麼最後不為零的那個數字就是兩數的最大公約數。
小傅哥在這裡提供了2種計算方式,一種是迴圈另外一種是遞迴。—— 方便很多看不懂遞迴的小夥伴可以用另外的方式學習。
1. 迴圈實現
public long gcd01(long m, long n) {
m = Math.abs(m);
n = Math.abs(n);
while (m != 0 && n != 0 && m != n) {
if (m > n) {
m = m - n;
} else {
n = n - m;
}
}
return m == 0 ? n : m;
}
- 兩數迴圈處理中,條件為
m != 0 && n != 0 && m != n
直至迴圈結束。
2. 遞迴實現
public long gcd02(long m, long n) {
if (m < n) {
long k = m;
m = n;
n = k;
}
if (m % n != 0) {
long temp = m % n;
return gcd02(n, temp);
} else {
return n;
}
}
- 計算方式邏輯和條件是一樣的,只不過這個是使用了遞迴呼叫的方式進行處理。
3. 測試驗證
@Test
public void test_euclidean() {
Euclidean euclidean = new Euclidean();
System.out.println(euclidean.gcd01(124, 20));
System.out.println(euclidean.gcd02(124, 20));
}
測試結果
4
4
Process finished with exit code 0
- 計算 124 和 20 的最大公約數,兩個計算方式結果都是 4 。好的,到這測試透過。
- 這並不是一個很難的知識點,但當你做一些技術分享、答辯述職等時候,能這樣用技術語言而不是大白話的講述出來後,其實高度就有了。兄弟!??
在 stackoverflow.com 看到一道問題:計算兩個整數的最小公倍數的最有效方法是什麼?
乍一看,? 這能有啥。不就是計算下最小公倍數嗎?但一想我腦袋中計算最小公倍數的方法;一種是在本子上透過短除法計算,另外一種是基於計算出的最大公約數,再使用公式:lcm(a, b) = |a * b| / gcd(a, b)
求得最小公倍數。—— 計算最大公約數是基於歐幾里德演算法(輾轉相除法)
那麼這樣的計算方法是不是最有效的方法,另外如果是同時計算多個整數的最小公倍數,要怎麼處理?
其實程式設計的學習往往就是這樣,留心處處都是學問,你總是需要從各種細小的點中,積累自己的技術思維廣度和縱向探索深度。好啦,接下來小傅哥就給大家介紹幾種用於計算最小公倍數的演算法。
五、用公約數實現
公式:lcm(a, b) = |a * b| / gcd(a, b)
public long lcm01(long m, long n) {
return ((m == 0) || (n == 0)) ? 0 : Math.abs(m * n) / gcd(m, n);
}
private long gcd(long m, long n) {
m = Math.abs(m);
n = Math.abs(n);
// 從一個數字中減去另一個數字,直到兩個數字變得相同。
// 這將是 GCD。如果其中一個數字為零,也退出迴圈。
// https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm
while (m != 0 && n != 0 && m != n) {
if (m > n) {
m = m - n;
} else {
n = n - m;
}
}
return m == 0 ? n : m;
}
- 首先這裡是一個比較簡單的方式,基於兩數乘積除以最大公約數,得到的結果就是最小公倍數。
六、簡單累加計算
此計算方式為,在一組正整數數列中,透過找到最小的數字進行自身累加迴圈,直至所有數字相同時,則這個數字為最小公倍數。—— 你能程式碼實現一下嗎?
public long lcm02(long... n) {
long[] cache = n.clone();
// 以所有數字都相等作為條件
while (!isEquals(n)) {
System.out.println(JSON.toJSONString(n));
long min = n[0];
int idx = 0;
for (int i = 0; i < n.length; i++) {
if (min > n[i]) {
min = n[i];
idx = i;
}
}
n[idx] = cache[idx] + min;
}
return n[0];
}
- 在程式碼實現中,首先要把n個整數數列進行克隆儲存。因為每次相加的都是最初的這個數列裡的數字值。接下來就是以所有數字都相等作為條件迴圈判斷,不斷地的累加最小的數值即可。最終返回的就是最小公倍數。
七、表格推演計算
表格計算方式為將一組數字以最小的質數2開始整除,直到不能被2整除後,用下一個質數3繼續整除(剩餘的數字中比大的最小的質數)直至所有數字都為1的時候結束。最終所有有效的質數乘積就是最小公倍數。—— 想想如果這讓你用程式碼實現,你能肝出來嗎?
public long lcm03(long... n) {
Map<Long, List<Long>> keys = new HashMap<>();
for (long key : n) {
keys.put(key, new ArrayList<Long>() {{
add(key);
}});
}
System.out.print("執行表格計算:\r\nx ");
long primality = 2, cachePrimality = primality, filterCount = 0, lcm = 1;
// 以所有元素最後一位為1作為條件
while (filterCount != keys.size()) {
int refresh = 0;
filterCount = 0;
for (Map.Entry<Long, List<Long>> entry : keys.entrySet()) {
long value = entry.getValue().get(entry.getValue().size() - 1);
if (value == 1) {
filterCount++;
}
// 整除處理
if (value % primality == 0) {
entry.getValue().add(value / primality);
refresh++;
} else {
entry.getValue().add(value);
}
}
// 重新整理除數
if (refresh == 0) {
for (Map.Entry<Long, List<Long>> entry : keys.entrySet()) {
long value = entry.getValue().get(entry.getValue().size() - 1);
// 找到下一個符合的素數
if (value > primality || (value < cachePrimality && value > primality)) {
cachePrimality = value;
}
entry.getValue().remove(entry.getValue().size() - 1);
}
primality = cachePrimality;
} else {
// 累計乘積
lcm *= cachePrimality;
System.out.print(cachePrimality + " ");
}
}
keys.forEach((key, values) -> {
System.out.println();
for (long v : values) {
System.out.print(v + " ");
}
});
System.out.println("\r\n");
return lcm;
}
- 在程式碼實現中我們透過 Map 作為表的key,Map 中的 List 作為表每一行資料。透過這樣一個結構構建出一張表。
- 接下來以所有元素最後一位為1作為條件迴圈處理資料,用最開始的2作為素數整除列表中的資料,並儲存到下一組數列中。當2不能整除時,則重新整理素數,選取另外一個列表中最小的素數作為除數繼續。
- 這個過程中會累計有效素數的乘積,這個乘積的最終結果就是最小公倍數。
八、測試驗證
單元測試
@Test
public void test_euclidean() {
LastCommonMultiple lastCommonMultiple = new LastCommonMultiple();
// System.out.println("最小公倍數:" + lastCommonMultiple.lcm01(2, 7));
System.out.println("最小公倍數:" + lastCommonMultiple.lcm02(3, 4, 6));
// System.out.println("最小公倍數:" + lastCommonMultiple.lcm03(3, 4, 6));
System.out.println("最小公倍數:" + lastCommonMultiple.lcm03(3, 4, 6, 8));
//System.out.println("最小公倍數:" + lastCommonMultiple.lcm03(4, 7, 12, 21, 42));
}
測試結果
執行累加計算:
[3,4,6]
[6,4,6]
[6,8,6]
[9,8,6]
[9,8,12]
[9,12,12]
最小公倍數:12
執行表格計算:
x 2 2 2 3
3 3 3 3 1
4 2 1 1 1
6 3 3 3 1
8 4 2 1 1
最小公倍數:24
- 到這裡測試就結束了,本章一共介紹了三種計算最小公倍數的方法。那如果只讓你看到邏輯,你能寫出最終的程式碼嗎?
九、常見面試
- 最大公約數的使用用途?
- 如何使用程式碼實現最大公約數計算?
- 你是否瞭解歐幾里德演算法?
- 關於數論你還記得多少?
- RSA 加密演算法為什麼需要用到公約數計算?
- 如何計算兩數的最小公倍數?
- 如果計算多個整數的最小公倍數?
- 你能說一下具體如何實現這種X的計算流程嗎?
- 你知道最小公倍數計算的用途嗎?
- What is the most efficient way to calculate the least common multiple of two integers?:https://stackoverflow.com/que...
- Least common multiple:https://en.wikipedia.org/wiki...
- Chebyshev function:https://en.wikipedia.org/wiki...
- 歐幾里德演算法:https://en.wikipedia.org/wiki...
- 線性組合:https://en.wikipedia.org/wiki...
- 貝祖定理:https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout%27s_identity