Hidden Bipartite Graph
題意
互動題。有一個 \(n \le 600\) 的圖，你可以詢問至多 \(20000\) 次。每次問一個點集 \(S\)，返回滿足兩個端點都在 \(S\) 中的邊的個數。你需要判斷這個圖是不是二分圖，如果是，則分別輸出左部和右部的點，否則按順序輸出任意一個奇環。
思路
先判斷二分圖。一個十分巧妙的方法是，先找出一棵生成樹，然後染色，然後再擴充判斷是否是二分圖。這樣做是因為生成樹是好找的（圖保證連通），而且樹是特別的二分圖。
現在我們任意找出一棵生成樹。我們發現判斷一個點 \(x\) 和一個點集 \(S\) 有沒有連邊是容易的，只需要先問 \(S+x\)，然後再問 \(S\)，然後相減。
設已經連通的點集為 \(T\)，剩餘點集為 \(S\)。初始 \(T=\{1\},S=2 \sim n\)。
找樹邊的時候我們逮住 \(T\) 的一個點 \(x\)，然後二分的方式找出和它相連的所有點，並把這些點加入 \(T\)，然後 \(x\) 的使命就結束了了，可以把它從 \(T\) 刪除，因為它無法再用來更新邊了。
這樣每個點加入生成樹最多要 \(2 \log n\) 次詢問，一共 \(2n \log n\) 左右，大概 \(10800\)。
然後我們就找到了一棵生成樹。然後給這棵樹黑白染色，就是奇數層染黑色，偶數層染白色。然後黑、白兩個點集分別查詢一下內部是否有邊，如果沒有，那麼這兩個點集就是二分圖的左右部，否則不存在二分圖。
如果不存在二分圖，我們還需要找一個奇環。只要生成樹上奇數層和奇數層或者偶數層和偶數層有連邊，就行成了一個奇環。環包括書上路徑和非樹邊的那一條邊。因此我們對於每個奇數層的點（當然偶數層也同理可以），採用同樣的方式二分所有奇數層的點（除去它自己），先判斷一下有沒有連邊，如果有就找到一個和它有連邊的點。一共大概 \(2n+2 \log n\) 次詢問。完全足夠。
總共詢問次數大概 \(2 n \log n + 2n + 2 \log n\)。CF 上最大跑了 \(19307\) 次。
code
#include<bits/stdc++.h>
//#define LOCAL
#define sf scanf
#define pf printf
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000;
int n;
vector<int> res;
int st[N],top;
int m;
int dep[N],fa[N];
vector<int> to[N];
int write(vector<int> &vec,int l,int r) {
if(r-l+1<2) return 0;
cout<<"? "<<r-l+1<<endl;
rep(i,l,r) cout<<vec[i]<<' ';
cout<<endl;
cin>>m;
return m;
}
int write(vector<int> &vec,int l,int r,int y) {
if(r-l+1<=0) return 0;
cout<<"? "<<r-l+1+1<<endl;
rep(i,l,r) cout<<vec[i]<<' ';
cout<<y<<endl;
cin>>m;
return m;
}
int write(int x,int y) {
cout<<"? 2"<<endl;
cout<<x<<' '<<y<<endl;
cin>>m;
return m;
}
vector<int> del;
void solve(int u,int l,int r) {
if(l==r) {
int m=write(u,res[l]);
if(m) del.push_back(l),st[++top]=res[l],to[u].push_back(res[l]),to[res[l]].push_back(u);
return;
}
int m=write(res,l,r,u)-write(res,l,r);
if(!m) return;
int mid=(l+r)>>1;
solve(u,l,mid);solve(u,mid+1,r);
}
vector<int> lb,rb;
int col[N];
void dfs(int u) {
if(col[u]==1) lb.push_back(u);
else rb.push_back(u);
for(int v:to[u]) {
if(col[v]) continue;
dep[v]=dep[u]+1;fa[v]=u;
col[v]=col[u]==1?2:1;
dfs(v);
}
}
bool check() {
if(lb.size()>=2) {
cout<<"? "<<lb.size()<<endl;
for(int u:lb) cout<<u<<' ';
cout<<endl;
cin>>m;
if(m) return 0;
}
if(rb.size()>=2) {
cout<<"? "<<rb.size()<<endl;
for(int u:rb) cout<<u<<' ';
cout<<endl;
cin>>m;
if(m) return 0;
}
return 1;
}
bool check(vector<int> &vec,int u) {
return write(vec,0,vec.size()-1,u)-write(vec,0,vec.size()-1);
}
bool check(int u,vector<int> &vec,int l,int r) {
return write(vec,l,r,u)-write(vec,l,r);
}
int find(int u,vector<int> &vec,int l,int r) {
if(l==r) return vec[l];
int mid=(l+r)>>1;
if(check(u,vec,l,mid)) return find(u,vec,l,mid);
else return find(u,vec,mid+1,r);
}
int main(){
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
#endif
cin>>n;
rep(i,2,n) res.push_back(i);
st[++top]=1;
while(!res.empty()) {
int u=st[top--];
solve(u,0,(int)res.size()-1);
vector<int> tmp;
sort(del.begin(),del.end());
int op=0;
rep(i,0,(int)res.size()-1) {
if(op<(int)del.size()&&i==del[op]) op++;
else tmp.push_back(res[i]);
}
del.clear();
res=tmp;
}
col[1]=1;
dep[1]=1;
dfs(1);
if(check()) {
sort(lb.begin(),lb.end());
int k=unique(lb.begin(),lb.end())-lb.begin();
cout<<"Y "<<k<<endl;
for(int j=0;j<k;j++) cout<<lb[j]<<' ';
cout<<endl;
}else{
rep(i,0,(int)lb.size()-1) {
vector<int> tmp;
rep(j,0,i-1) tmp.push_back(lb[j]);
rep(j,i+1,(int)lb.size()-1) tmp.push_back(lb[j]);
if(check(tmp,lb[i])) {
int x=find(lb[i],tmp,0,tmp.size()-1);
vector<int> lp,lp2;
int y=lb[i];
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
while(dep[x]>dep[y]) {
lp.push_back(x);
x=fa[x];
}
while(x!=y) {
lp.push_back(x),lp2.push_back(y);
x=fa[x],y=fa[y];
}
lp.push_back(x);
cout<<"N "<<lp.size()+lp2.size()<<endl;
for(int u:lp) cout<<u<<' ';
for(int k=lp2.size()-1;k>=0;k--) cout<<lp2[k]<<' ';
cout<<endl;
return 0;
}
}
rep(i,0,(int)rb.size()-1) {
vector<int> tmp;
rep(j,0,i-1) tmp.push_back(rb[j]);
rep(j,i+1,(int)rb.size()-1) tmp.push_back(rb[j]);
if(check(tmp,rb[i])) {
int x=find(rb[i],tmp,0,tmp.size()-1);
vector<int> lp,lp2;
int y=rb[i];
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
while(dep[x]>dep[y]) {
lp.push_back(x);
x=fa[x];
}
while(x!=y) {
lp.push_back(x),lp2.push_back(y);
x=fa[x],y=fa[y];
}
lp.push_back(x);
cout<<"N "<<lp.size()+lp2.size()<<endl;
for(int u:lp) cout<<u<<' ';
for(int k=lp2.size()-1;k>=0;k--) cout<<lp2[k]<<' ';
cout<<endl;
return 0;
}
}
}
}