A
紀念一下本人在校模擬用線段樹最佳化dp單殺*900。
最小和最大沒有本質區別，這裡只討論最小的情況。
設 \(f_i\) 表示字首 \(i\) 的答案，顯然是要列舉 \(j\) 使得 \((j, i]\) 合併成一段：
其中 \(s_i = \sum_{i = 1}^i a_i\)。
想辦法把 \(i, j\) 的貢獻拆開，再用資料結構最佳化轉移。
顯然有 $ \lceil \dfrac{s_i - s_j}{x} \rceil = \lfloor \dfrac{s_i - s_j}{x} \rfloor + [s_i \not\equiv s_j \pmod x]$，對於下取整，我們有廣為人知的結論：
證明也很簡單，對於三種不等關係討論一下即可。
兩者結合一下：
把所有 \(s_i \bmod x\) 離散化，用線段樹最佳化轉移即可。submission
B
存在平凡的構造使得權值為零：\(1\) 向其他點連 \(d_i\) 的邊，任意 \(i > 1\) 向 \(1\) 連 \(-d_i\) 的邊。
幾條顯而易見的性質：
- \(i\) 不能向 \(d_j \ge d_i\) 的 \(j\) 連負權邊，否則 \(d_i + w < d_j\)，不滿足最短路的限制。
- \(i\) 最多向 \(d_j < d_i\) 的 \(j\) 連權值為 \(d_j - d_i\) 的邊，否則出現負環（不滿足最短路限制）。
因此，我們得到了答案的下界：
那麼是否存在一組構造能達到下界呢？
將 \(d\) 排序，\(i\) 向 \(i + 1\) 連 \(d_{i + 1} - d_i\) 的邊，所構成的一條鏈顯然滿足初始限制。
每個 \(i\) 對於 \(j < i\) 連 \(d_j - d_i\) 的邊，一定不會出現負環，且始終滿足最短路的限制，這樣就達到了下界。
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C
把第一次染色的顏色作為根，列舉根，對每種情況分別求一下答案，最後除以 \(n\)（第一步是等機率的）。
考慮 \(u > v\) 對整棵樹的貢獻 \(e(u, v) = p(u, v) \times 1 = p(u, v)\)，設 \(l = \text{lca}(u, v)\)。
當 \(l\) 未被染色時，局面可以是任意的；當 \(u, v\) 都已經染色後，局面也可以是任意的。
全域性的機率是 \(1\)，不對 \(p(u, v)\) 產生影響，只要考慮 \(l\) 被染色到 \(v\) 被染色之間的這一過程。
我們稱 \((u, v)\) 簡單路徑上的點是關鍵的。
一旦 \(l\) 被染色，每次操作染色集合有 \(p\) 的機率向 \(u\) 逼近一步，\(p\) 的機率向 \(v\) 逼近，\(1 - 2p\) 的機率選擇非關鍵點。
注意每次操作的 \(p\) 可能不同，但向 \(u, v\) 逼近的機率始終相同（等機率）。
設 \(f(i, j)\) 表示 \(l\) 要向 \(u\) 逼近 \(i\) 步，向 \(v\) 逼近 \(j\) 步，最後 \(u\) 出現在 \(v\) 之前的機率。
\(f(i, j) = p\times f(i, j - 1) + p \times f(i - 1, j) + (1 - 2p) \times f(i, j) \implies f(i, j) = \frac{f(i - 1, j) + f(i, j - 1)}{2}\)。submission