2024.10.3：
能夠感受到出題人深深的惡意，扔了道 zak 沒場切的互動，甚至 2e5 的輸出關同步流被卡了。
A：
一共只有 $ 25 n $ 種本質不同的操作，不妨求出每種操作後的新串的平方子串個數，最後取其中最大值即可。 跨過它們的平方子串（包括修改後新生成的）的貢獻。
記 $ L=\min (L C S(a, b) ，len ), R=\min (L C P(a+1, b+1) ，len -1 ) $ ，貢獻為 $ \max (0, L+R-k+1) $ 。
至於有修改的情況，不妨先考慮每種修改對 $ L, R $ 分別造成了什麼影響。下以 $ R $ 為例說明，設修改了第 $ i $ 個點：
$ i \in[1, a]: R $ 保持不變；
$ i \in[a+1, a+R], R $ 變為 $ i-(a+1) $ 。
$ i=a+R+1 $ ：若將 $ s_{a+R+1} $ 修改為 $ s_{b+R+1} ， R $ 變為 $ R+1+L C P(a+R+2, b+R+2) $ ；否則，仍為 $ R $ 。
$ \max (0, L+R-k+1) $ 取哪一邊，可以得到更細緻的分類，每一類中的貢獻都是一個關於 $ i $ 的一次函式。
於是只要對貢獻陣列做 $ O(1) $ 次區間加一次函式即可，差分即可。
B：
官解：
考慮三角剖分的對偶圖 (去掉外部無限大的面對應的那個點) ，可以發現該對偶圖構成一棵樹。
並且，若以原圖中邊 $ (1, n) $ 所在的三角形為樹的根，則其是一棵有根二叉樹。
我們不妨將其視為一棵二叉搜尋樹。
在此建模中，可以發現，題面中的一次操作對二叉樹形態的影響，相當於二叉樹中的一次左旋/右旋操作。
同時，注意到點 $ x $ 為題面中的"關鍵點"，等價於二叉樹的根的左子樹大小為 $ x-2 $ 。
於是，若要使 $ x $ 成為關鍵點，只要將中序遍歷中第 $ x-1 $ 個點透過旋轉操作轉到根即可。
這可以使用 splay 做到均攤 $ O((n+m) \log n) $ 次旋轉操作，足以透過本題。
C：
考慮一個長為 $ n-1 $ 的排列插入 $ n $ ，有 $ n $ 種方式，且其對逆序對數的影響恰分別為 $ +0,+1,+2, \ldots,+(n-1) $ 。
使用生成函式，得到長為 $ n $ ，逆序對數為 $ m $ 的排列數為：
由於 $ m \leq n $ ，所以 \(\prod_{i=1}^{n}\left(1-x^{i}\right) \equiv \prod_{i=1}^{\infty}\left(1-x^{i}\right)\left(\bmod x^{m+1}\right)\) 。
考慮五邊形數定理（這輩子沒想到會用這個）：
於是答案轉化為 $ \left[x^{m}\right] \frac{F(x)}{(1-x)^{n}} $ 。
由於 $ F $ 在前 $ m $ 項中只有 $ O(\sqrt{m}) $ 項是非 0 的，可以做到 $ O(\sqrt{m}) $ 求解單次詢問的答案，總時間複雜度 $ O(n+T \sqrt{m}) $ 。