字串指南

hisy_qwq發表於2024-09-19

kmp

kmp 是模式串匹配的演算法，本來最壞時間複雜度可以達到 $\operatorname{O}(n\times m)$，但是 kmp 可以將複雜度最佳化到 $\operatorname{O}(n+m)$。

kmp 有個很重要的東西，叫做 $nxt$ 失配陣列。比如對於一個字串 $s$，它的失配陣列 $nxt_n$ 就是 $s$ 的最大字首等於字尾的長度。$\operatorname{O}(n\times m)$ 的演算法的劣勢在於每一次失配都要重頭，但是 kmp 是從上一次最大失配陣列 $nxt_{nxt_n}$ 開始匹配的，這樣會最佳化很多無意義匹配的時間。

設定一個 $pos$ 為匹配開始的位置，然後透過 $nxt$ 陣列來跳，可以達到 $\operatorname{O}(n+m)$ 的時間複雜度。

int len1=strlen(s1+1);
int len2=strlen(s2+1);
int pos=0;
for(int i=2;i<=len2;++i){
	while(pos&&s2[i]!=s2[pos+1]){
		pos=nxt[pos];//跳 nxt 
	}
	if(s2[i]==s2[pos+1]){
		++pos;//匹配成功 
	}
	nxt[i]=pos;//存入 nxt 
}
pos=0;
for(int i=1;i<=len1;++i){
	while(pos&&s1[i]!=s2[pos+1]){
		pos=nxt[pos];//跳 nxt 
	}
	if(s1[i]==s2[pos+1]){
		++pos;//匹配成功 
	}
	if(pos==len2){
		printf("%d %d\n",i,i+len2-1);//一個位置 
	}
}

例題

首先求出 nxt 陣列，然後在 nxt 陣列上 dp，設 $dp_i$ 表示字首 $i$ 的答案，只可能從 $dp_{nxt_i}$ 和 $dp_i$ 轉移過來，具體開桶實現。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 500005
using namespace std;
char s[MAXN];
int nxt[MAXN],dp[MAXN],mp[MAXN];
int main(){
	scanf("%s",s+1);
	int len=strlen(s+1);
	int pos=0;
	for(int i=2;i<=len;++i){
		while(pos&&s[i]!=s[pos+1]){
			pos=nxt[pos];
		}
		if(s[i]==s[pos+1]){
			++pos;
		}
		nxt[i]=pos;
	}
	for(int i=1;i<=len;++i){
		dp[i]=i;
		if(mp[dp[nxt[i]]]>=i-nxt[i]){
			dp[i]=dp[nxt[i]];
		}
		mp[dp[i]]=i;
	}
	printf("%d",dp[len]);
	return 0;
}

字串雜湊

字串雜湊的思想是，透過把字串看做 $k$ 進位制數來進行儲存和比較。

優點：相較於直接字元比較，更加迅速，而且能夠 $\operatorname{O}(1)$ 查詢某段子區間的雜湊值。
缺點：容易衝突。

為了應對沖突，我們需要對雜湊進製做一些最佳化，模數也需要非常極品。下面，給出預處理模版程式碼。

typedef unsigned long long ull;
ull base[MAXN],pre[MAXN],suf[MAXN];//進位制、字首雜湊、字尾雜湊
int len;
char s[MAXN];
inline ull get_pre(int l,int r){//O(1) 查詢子區間雜湊值 
	return ((pre[r]-pre[l-1]*base[r-l+1])%MOD+MOD)%MOD;
} 
inline ull get_suf(int l,int r){//O(1) 查詢子區間雜湊值 
	return ((suf[l]-suf[r+1]*base[r-l+1])%MOD+MOD)%MOD;
}
inline void prework(){
	base[0]=1;
	for(int i=1;i<MAXN;++i){
		base[i]=(base[i-1]*HASH)%MOD;
	}
	for(int i=1;i<=len;++i){
		pre[i]=(pre[i-1]*HASH+s[i]+DIF)%MOD;//加上偏移量防卡 
	}
	for(int i=len;i>=1;--i){
		suf[i]=(suf[i+1]*HASH+s[i]+DIF)%MOD;//加上偏移量防卡 
	}
}

有時候，可以採取雙模雜湊來進行防卡，這樣被卡的機率很小。

typedef unsigned long long ull;
ull base1[MAXN],pre1[MAXN],suf1[MAXN];
ull base2[MAXN],pre2[MAXN],suf2[MAXN];//進位制、字首雜湊、字尾雜湊
int len;
char s[MAXN];
inline ull get_pre1(int l,int r){
	return ((pre1[r]-pre1[l-1]*base1[r-l+1])%MOD1+MOD1)%MOD1;
} 
inline ull get_suf1(int l,int r){
	return ((suf1[l]-suf1[r+1]*base1[r-l+1])%MOD1+MOD1)%MOD1;
}
inline ull get_pre2(int l,int r){//O(1) 查詢子區間雜湊值 
	return ((pre2[r]-pre2[l-1]*base2[r-l+1])%MOD2+MOD2)%MOD2;
} 
inline ull get_suf2(int l,int r){
	return ((suf2[l]-suf2[r+1]*base2[r-l+1])%MOD2+MOD2)%MOD2;
}
inline void prework(){
	base1[0]=base2[0]=1;
	for(int i=1;i<MAXN;++i){
		base1[i]=(base1[i-1]*HASH1)%MOD1;
		base2[i]=(base2[i-1]*HASH2)%MOD2;
	}
	for(int i=1;i<=len;++i){
		pre1[i]=(pre1[i-1]*HASH1+s[i]+DIF1)%MOD1;
		pre2[i]=(pre2[i-1]*HASH1+s[i]+DIF2)%MOD2;//加上偏移量防卡 
	}
	for(int i=len;i>=1;--i){
		suf1[i]=(suf1[i+1]*HASH1+s[i]+DIF1)%MOD1;
		suf2[i]=(suf2[i+1]*HASH2+s[i]+DIF2)%MOD2;//加上偏移量防卡 
	}
}

例題

這一道題目可以先把雜湊值處理出來，然後發現可以列舉中間點，然後向左右二分。由於向左延伸 $n$ 格是迴文串，那麼 $n-1$ 格肯定也是迴文串。所以滿足單調性可以二分。由於本題有 Hack 資料卡自然溢，所以要打雙模。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 500005
#define HASH1 31
#define HASH2 29
#define MOD1 193910017
#define MOD2 1000000009
#define ADD 131 
using namespace std;
typedef long long ull; 
int len;
char s[MAXN];
ull base1[MAXN],pre1[MAXN],suf1[MAXN];
ull base2[MAXN],pre2[MAXN],suf2[MAXN];
inline ull get_pre1(int l,int r){
	if(!l){
		return 0;
	}
	return ((pre1[r]-pre1[l-1]*base1[r-l+1])%MOD1+MOD1)%MOD1;
}
inline ull get_suf1(int l,int r){
	if(!l){
		return 0;
	}
	return ((suf1[l]-suf1[r+1]*base1[r-l+1])%MOD1+MOD1)%MOD1;
}
inline ull get_pre2(int l,int r){
	if(!l){
		return 0;
	}
	return ((pre2[r]-pre2[l-1]*base2[r-l+1])%MOD2+MOD2)%MOD2;
}
inline ull get_suf2(int l,int r){
	if(!l){
		return 0;
	}
	return ((suf2[l]-suf2[r+1]*base2[r-l+1])%MOD2+MOD2)%MOD2;
}
int main(){
	scanf("%d %s",&len,s+1);
	base1[0]=base2[0]=1;
	for(int i=1;i<=len;++i){
		base1[i]=(base1[i-1]*HASH1)%MOD1;
		base2[i]=(base2[i-1]*HASH2)%MOD2;
		pre1[i]=(pre1[i-1]*HASH1+(s[i]-'0'+ADD))%MOD1;
		pre2[i]=(pre2[i-1]*HASH2+(s[i]-'0'+ADD))%MOD2;
	}
	for(int i=len;i>=1;--i){
		suf1[i]=(suf1[i+1]*HASH1+('1'-s[i]+ADD))%MOD1;
		suf2[i]=(suf2[i+1]*HASH2+('1'-s[i]+ADD))%MOD2;
	}
	ull ans=0;
	for(int i=1;i<len;++i){
		int l=0,r=min(i,len-i),res=0;
		if(s[i]==s[i+1]){
			continue;
		}
		while(l<=r){ 
			int mid=(l+r)>>1;
			if(get_pre1(i-mid,i)==get_suf1(i+1,i+1+mid)&&get_pre2(i-mid,i)==get_suf2(i+1,i+1+mid)){
				l=mid+1;
				res=l;
			}else{
				r=mid-1;
			}
		}
		ans+=res;
	}
	printf("%llu",ans);
	return 0;
}

字典樹

字典樹是一種 $k$ 叉樹結構。原理是每一個節點都有一個布林值 $flag$，判斷是否是一個字串的結尾。每一條邊都有一個字元，表示前面的字元拼接起來就是字串。這種資料結構能夠 $\operatorname{O}(n)$ 查詢字首。

int cnt,trie[MAXN][MAXT],flag[MAXN];
inline int turn(char c);//字元對映函式 
inline void insert(string s){
	int root=0;
	for(int i=0;i<s.size();++i){
		int p=turn(s[i]);
		if(trie[root][p]){//有沒有節點建立過 
			root=trie[root][p];//有就跳 
		}else{
			root=trie[root][p]=++cnt;//沒有就建邊 
		}
	}
	flag[root]=true;//標記末尾 
}
inline bool find(string s){
	int root=0;
	for(int i=0;i<s.size();++i){
		int p=turn(s[i]);
		if(!trie[root][p]){//如果沒有，直接返回 
			return false;
		} 
		root=trie[root][p];//跳 
	}
	return flag[root];//有沒有這個末尾 
}

例題

這一道題目考慮貪心證明。如果在某一層，$u$ 需要比 $v$ 先，那麼就建一條邊。如果在下一層，出現了需要 $v$ 比 $u$ 先的情況，那就衝突了，不可能是最優。也就是判環或者用種類並查集。用 Topu 或者 Tarjan 都可以判環。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 30003
#define MAXM 26
#define MAXK MAXN*10
using namespace std;
struct node{
	int nxt[MAXM];
	bool end;
}tree[MAXK];
vector<string> ans;
int n,cnt,indeg[MAXM];
bool vis[MAXM][MAXM];
string s[MAXN];
inline void insert(string str){
	int root=0;
	for(int i=0;i<str.size();++i){
		int dot=str[i]-'a';
		if(!tree[root].nxt[dot]){
			tree[root].nxt[dot]=++cnt;
		}
		root=tree[root].nxt[dot];
	}
	tree[root].end=true;
}
inline bool addedge(string str){
	int root=0;
	for(int i=0;i<str.size();++i){
		int dot=str[i]-'a';
		if(tree[root].end){
			return false;
		}
		for(int j=0;j<MAXM;++j){
			if(tree[root].nxt[j]&&dot!=j&&!vis[dot][j]){
				++indeg[j];
				vis[dot][j]=true;
			}
		}
		root=tree[root].nxt[dot];
	}
	return true;
}
inline bool topusort(){
	queue<int> q;
	for(int i=0;i<MAXM;++i){
		if(!indeg[i]){
			q.push(i);
		}
	}
	while(!q.empty()){
		int front=q.front();
		q.pop();
		for(int i=0;i<MAXM;++i){
			if(vis[front][i]){
				--indeg[i];
				if(!indeg[i]){
					q.push(i);
				}
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<MAXM;++i){
		if(indeg[i]){
			return false;
		}
	}
	return true;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>s[i];
		insert(s[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		memset(indeg,0,sizeof(indeg));
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		if(addedge(s[i])&&topusort()){
			ans.push_back(s[i]);
		}
	}
	cout<<ans.size();
	for(int i=0;i<ans.size();++i){
		cout<<endl<<ans[i];
	}
	return 0;
}

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