《實用演算法的分析與程式設計》的讀書筆記(第2天） (轉)

《實用演算法的分析與程式設計》的讀書筆記(第2天） (轉)[@more@]遞迴 第20頁

[例1]劃分問題 設s是一個具有n個元素的集合s 下列條件的子集合sl，s z，·。，s k： 1．si 56呼 (al，a z，·。，a。)，現將s集合劃分成K個滿足 2．S；門Sj＝69 ’ 3．S1廖S 2LJ S 3LJ·．·廖Sn＝S · (1毒i，j毒k，i，6j) 則稱s n，s z，…，s n是s的一個劃分。它相當於把s集合中的n個元素a n·．·a n放人k 個無標號的盒子中，使得沒有一個盒子為空。試確定n個元素a1…an放人k個無標號盒的劃分數s(n，k)。

分析：

設n個元素a n…a n故人k個無標號盒的劃分數為s(n，k)。在過程中，有兩種互不相容的情況： 1．設(a n)是k個子集中的一個子集，於是把(a n…a n—1)劃分為k一1子集有s(n一 1，k—1)個劃分數； 2．如果(an)不是k個子集中的一個，即an必與其它的元素構成一個子集。首先把 (a，，…，an—1)劃分成k個子集，這共有s(n一1，k)種劃分方式。然後再把an加入到k 個子集中的一個子集中去，這有k種加入方式。對於每一種加入方式，都使集合劃分為k 個子集，因此由乘法原理知，劃分數共有 k*s(n一1，k)。 應用加法原理於上述兩種情況，得出I a，，…，an)劃分為k個子集的劃分數： s(n，k)＝s(n一1，k一1)十k*s(n一1，k) (n＞1，k>=1)

現在考慮s(n,k)的邊界條件：1). s(n,0)=0; 當k>n時s(n,k)=0;

2).s(n,1)=1; s(n,n)=1;

由此得到遞迴定義：

s(n，k)＝s(n一1，k一1)十k*s(n一1，k) (n＞k，k>=1) s(n，k)＝o (n＜k)或(k＝0＜n) s(n，k)＝1 (k＝1)或(k＝n)

題解：

#include
int s(int n,int k)
{
 int sum;
 if(n  else if(k==1||k==n) sum=1;
  else sum=s(n-1,k-1)+k*s(n-1,k);
  return sum;
}
int main()
{
 int n,k;
  while(cin>>n>>k){
   int sum=s(n,k);
  cout<  }
  return 1;
}

分治法 第22頁

所謂分治策略：既將原問題分成n個規模較小而結構與原問題相似的子問題。遞迴地解這些子問題，然後合併其結果就得到原問題的解。n＝2 時的分治法又稱二分法。

分治法在每一層遞迴上都有三個步驟： 分解：將原問題分解成一系列子問題；
解決：遞迴地解各子問題。若子問題足夠小，則直接解
合併：將子問題的結果合併成原問題的解；
[例1I合併排序
  對序列A[1]，A[2]，……，A[n]進行合併排序。
演算法分析：
  合併排序的演算法就是二分法。
  分解：將n個元素各含rn／2。1(或Ln／2J)個元素的子序列
  解決：用合併排序法對兩個子序列遞迴地排序；
  合併：合併兩個已排序的子序列以得到排序結果。

前面在貪心法中用到的 merge(int p,int q,int r)與merge(int p,int r)就

是典型的二分排序法。這裡不再重複。

 

列舉法 第31頁

所謂列舉法，指的是從可能的解的集合中一一列舉各元素， 用題目給定的檢驗條件判定哪些是無用的，哪些是有用的。能使命題成立，即為其解.

一般來說，如果預先對問題確定瞭解的個數以及各個解的值域。我們則可以利用ror語句和條件判斷語句逐步求解或證明. 
如果我們無法預先確定解的個數或各解的值域，我們只能採用隱式圖搜尋的演算法求
解，例如回溯法等。由於回溯搜尋，每個可能解的列舉一般不止一次，因此在相同的檢驗
條件下，回溯法要比枚學法費時一些。
[例0填寫運算子
輸入任意5個數 x1,x2,x3,x4,x5
每相鄰兩個數間填上一個運算子。在填入四個運算子後，使得值為一個指定值
y(y由鍵盤輸入)。求出所有滿足條件的表示式。分析：為了解決運算的優先順序問題，我們設定如下變數：
  f——減法標誌。減法運算時，置f＝一1，否則f＝1；
  q——若當前運算子為十(一)時，q存貯運算子的左項值；
若當前運算子為*(／)時，q存貯兩數乘(除)後的結果；
  p——累加器。每填一個算符p＝p十f *q。

然後四重for迴圈，解決問題。這是一道典型的列舉題，運算
量很大。具體還是比較簡單，故不再轉化。

列舉法有其計算量大的缺點，但是如果能夠排除那些明顯不屬
於解集的元素，在區域性地方使用列舉法，其效果會十分顯著。

[例2]時針問題
  在圖1．5。1所示的3×3陣列中有9個時鐘，我們的目標是旋轉時鐘指標，使所有
時鐘的指標都指向12點。允許旋轉時鐘指標的方法有9種，每一種移動用一個數字號(1，
2，…，9)表示。  圖1．5—2示出了9個數字號與相應的受控制的時鐘，這些時鐘在圖中以灰
色標出，其指標將順時針旋轉90度。

輸入資料：
輸入9個數碼，這些數碼給出9個時鐘針的初始位置。數碼與時刻
的對應關係為0--&gt12點,1->3點,2--&gt6點,3--&gt9點。
例：3 3 0 2 2 2 2 1 2
輸出資料：
輸出一個最短的移動序列（數字）
例：5 8 4 9

題解：

#include
int clocks[9],map[9];
void init()
{
 int i;
  for(i=0;i<9;i++){
   cin>>clocks[i];
  clocks[i]=(4-clocks[i])%4;
  }
}
int order(int k)
{
 int c=k;
  while(c>4)c-=4;
  while(c<0)c+=4;
  return c;
}
void clock()
{
 init();
  int i; bool flag=false;
  for(map[0]=0;map[0]<=3;map[0]++)
   for(map[1]=0;map[1]<=3;map[1]++)
   for(map[2]=0;map[2]<=3;map[2]++){
   map[3]=order(clocks[0]-map[0]-map[1]);
  map[5]=order(clocks[2]-map[1]-map[2]);
  map[4]=order(clocks[1]-map[0]-map[1]-map[2]);
  map[6]=order(clocks[3]-map[0]-map[3]-map[4]);
  map[8]=order(clocks[5]-map[2]-map[4]-map[5]);
  map[7]=order(clocks[7]-map[6]-map[8]-map[4]);
  if(clocks[6]==(map[3]+map[6]+map[7])%4&&
   clocks[4]==(map[4]+map[0]+map[2]+map[6]+map[8])%4&&
  clocks[8]==(map[5]+map[7]+map[8])%4){
  for(i=0;i<9;i++)
   if(map[i]!=0)cout<  cout<  flag=true;
  }
  }
  if(!flag)cout<}
int main()
{
 clock();
  return 1;
}