1.問題背景
如下圖，有A,B,C,D,E五個路口，其中A,D路口為單行道，方向均指向道中。現考慮修交通燈，其功能如下：
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交通燈上有若干顏色不同的燈
-
同一時刻有且只有一種顏色的燈亮
-
每個路口都會安裝一個交通燈，用於指示交通。在相同的路口，不同燈亮代表不同的通行情況。
現需要設計交通燈，使得在正常指示交通的前提下，交通燈上顏色數量儘量少。
注意：
- 按實際交通狀況，一條道路上右側為正行，左側為逆行。
- 路口右轉不會與其他通行情況產生較大沖突（正常情況），因此右轉不必設燈。
2.問題分析
交通問題，先從十字路口考慮。
十字路口，每個路口的交通燈上都有3種顏色的交通燈，其中黃燈只做提醒或觀察作用，因此真正決定交通狀態的是紅燈與綠燈。綠燈亮則通行，紅燈亮則停止。但相同的道路，其燈展示情況也可不同，例如：
設A,B路口直通，C,D路口直通，其形成了一個十字路口。則道路通行情況可以為
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A\(\rightarrow\)B，B\(\rightarrow\)A為初始通行情況，隨後A,B各自停止直行，共同左轉。再停止左轉，轉為C\(\rightarrow\)D，D\(\rightarrow\)C，然後類似繼續下去。
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A\(\rightarrow\)B，B\(\rightarrow\)A為初始通行情況，隨後B道路停止通行，A左轉、直行共同進行。再A停止直行，B啟動左轉，其餘與1類似。
可以發現，以上情況所需最少燈顏色數為2，即只需紅燈與綠燈即可實現上述交通情況，但是情況不唯一。
可以預料到的一點是，隨著路口數的增加，情況必然更加多樣與複雜，即使想設計從任意道路進，再存在順序時刻（即特定亮燈時刻）使得可以從任意非單行道（這裡指進入道路中心的單行道，即從其他道路無法進入）出，則更加不容易。當然，隨著交通指示燈數量的增加，必然更容易實現上述，但是也會造成更多的時間冗雜，極有可能導致交通擁擠，這也不是我們需要的。
實際上多於4條交通道路的複雜交通，更適合設計成環島。本題是跳出常見交通情況，探索一般交通狀況。
迴歸本題，右轉由於不會與其餘交通情況衝突，因此不作考慮，故需要考慮的則為道路衝突情況。下圖給出了兩種衝突情況
並且，該交通上可能存在許多衝突情況，關於具體的衝突情況，可以採用列舉的方式，固定一條道路，列舉其餘道路，再判斷是否衝突。就本題而言較為容易，但一旦道路情況複雜，則需要根據實際要求（例如進單行，出單行）進行合適的約束。
假設我們已經得到了交通道路衝突情況，接下來就可以進行建模了。本質上，這是一道圖論的基本問題。
3.建立數學模型
最初的想法是把道路盡頭視作點，這樣中心路口的轉向即可看作邊。但是交通燈處理的問題本質上是使道路正常通行，不會發生衝突。正如上述所說，應該以從某路口轉向某路口視作基本操作物件，即點。而點與點相連可以視作道路衝突，那麼就是說當一方某色燈亮起時，另一方的某色燈一定不能亮。無妨設這兩種燈顏色一樣（實際上不一樣也不影響本質區別，只是某路口交通燈內部順序交換。當然不同顏色交通燈通向哪個路口應在交通告示牌上有所體現），則這就變成了圖論中最基本的問題——圖最小染色問題。
圖最小染色問題是指，一個圖中同一邊的兩點顏色不同，問最少需要多少種顏色數可以將所有點染色。這個基本問題對應了一個經典演算法：Welsh–Powell 演算法。該演算法是說，有一種貪心的方式可以儘量優的求出較小顏色數，根據OI Wiki上的說法，是在不限制最大顏色數的前提下，該演算法成立。可以證明的是，該貪心演算法是正確的，並且時間複雜度為\(O(n^2)\)。
Welsh–Powell 演算法的過程是，對點按度數從高到低排序，然後從度數最高的點開始，依次染色。一個要求是：每次迴圈對應染上一種顏色，且保證同色不相連。這樣所染出的顏色數就是較小的著色數。先說時間複雜度，按顏色可以將點分組，每組內部需要判斷是否與其他點相連，對於第k組顏色內的點集即為\(O(n^2_k)\)的時間複雜度，但是在同一個顏色中列舉點時額外產生的時間複雜度為\(O(n)\)。由於\(\sum n_k=n\)，並且列舉點最多n次，所以總複雜度為 \(\sum O(n^2_k)+O(n^2)\) ，即\(O(n^2)\)級。而直接列舉考慮顏色數則是np問題，時間複雜度非多項式級。故可見Welsh-Powell演算法極大的方便了對圖最小染色數的計算，對解決生活中實際問題也很有幫助。但是值得注意的一點是，該演算法得到的顏色數可能並非最優解，這與起始節點和圖形性質皆有關係。但在圖形較簡單及節點度數不高的情況下，該演算法效能優良。並且可以保證最大顏色數不會超過最大節點度數加一。具體證明參見 \(OI\) \(Wiki\)，大體思路是按照演算法思路將每種顏色所染的節點歸為一類，再根據數學歸納法遞推得到類的性質。
這樣就解決了這個問題，下面是程式碼及執行結果。
4.實際執行
程式碼：
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node
{
int num;
int dis;
};
node t[100];
int edge[100][100],colorn=0,n;
int col[100],cnt,pre[100],rt;
bool cmp1(node p,node q) { return p.dis>q.dis; }
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
t[i].num=i;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
int v;
scanf("%d",&v);
if(v)
{
edge[i][j]=v;
t[i].dis++;
t[j].dis++;
}
}
}
sort(t+1,t+n+1,cmp1);
while(colorn<n)
{
rt=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!col[t[i].num])
{
col[t[i].num]=++cnt;
pre[rt]=i;
colorn++;
break;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(col[t[i].num]) continue;
int flag=0;
for(int j=1;j<=rt;j++)
{
if(edge[t[pre[j]].num][t[i].num])
{
flag=1;
break;
}
}
if(!flag)
{
col[t[i].num]=cnt;
colorn++;
pre[++rt]=i;
}
}
}
printf("min-color-number:%d\n",cnt);
for(int i=1;i<=n;i++) printf("num%d's color is %d\n",i,col[i]);
return 0;
}
下面是執行結果：
min-color-number:3
num1's color is 2
num2's color is 1
num3's color is 1
num4's color is 3
num5's color is 2
num6's color is 1
num7's color is 3
num8's color is 3
num9's color is 2
當然，這只是理論上最小顏色數。比如B-E段實際只需兩個交通燈。但以次觀之，十字路口交通燈只需兩色：分別管理直行和左轉，但這樣顯然是不好的。故設計為綠燈通行紅燈停止。上述也可如此，對於不同通行方向，皆用綠燈但用不同指向表示，這樣在加上紅燈限定停止的同時可以更方便車輛通行。以上問題實際上與此方式相同。
5.總結
該問題帶來了一個不同的問題思考方式，即生活中常見的是十字路口、丁字路口等，但五個通道的路口也是可能存在的。這樣如何最最佳化設計交通燈實際上是一個問題。在建模後，這個問題就與圖論中的一個基本問題重合了。然後透過經典演算法，就可以初步得出結論。但是正如上文所說，還應切換度數相同的節點再次實驗，在所有備選中選出最符合道路實情的一種交通通行設計方式。
總而言之，將實際生活與演算法相結合，藉助計算機的強大算力，可以更方便的處理一些事情。程式碼當然很經典也很簡單了，算是剛回歸的一個小練手吧。