為什麼 JavaScript 中 0.1+0.2 不等於 0.3 ？

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作者：劉洋

在 js 中進行數學的運算時，會出現0.1+0.2=0.300000000000000004的結果，一開始認為是浮點數的二進位制儲存導致的精度問題，但這似乎不能很好的解釋為什麼在同樣的儲存方式下0.3+0.4=0.7可以得到正確的結果。本文主要透過浮點數的二進位制儲存及運算，和IEEE754下的舍入規則，解釋為何會出現這種情況。

一、浮點數的二進位制儲存

JavaScript遵循IEEE754標準，在64位中儲存一個資料的有效數字形式。

其中，第0位為符號位，0表示正數1表示負數；第1到11位儲存指數部分；第12到63位存小數部分（尾數部分）（即有效數字）。由於二進位制的有效數字總是表示為 …的形式，尾數部分在規約形式下的第一位預設為1，故儲存時第一位省略不寫，尾數部分f儲存有效數字小數點後的xxx...，最長52位。因此，JavaScript提供的有效數字最長為53個二進位制位（尾數部分52位+被省略的1位）。
以0.1、0.2、0.3、0.4和0.7的二進位制形式為例：

0.1->0.0001100110011...(0011無限迴圈)->0-01111111011-(1 .)1001100110011001100110011001100110011001100110011010(入)
0.2->0.001100110011...(0011無限迴圈)->0-01111111100-(1 .)1001100110011001100110011001100110011001100110011010(入)
0.3->0.01001100110011...(0011無限迴圈)->0-01111111101-(1 .)0011001100110011001100110011001100110011001100110011(舍)
0.4->0.01100110011...(0011無限迴圈)->0-01111111101-(1 .)1001100110011001100110011001100110011001100110011010(入)
0.7->0.101100110011...(0011無限迴圈)->0-01111111110-(1 .)0110011001100110011001100110011001100110011001100110(舍)

對於52位之後進行舍入運算，此時可看作0舍1入（具體舍入規則在第三部分詳細說明），有精度損失。

二、對階運算

由於指數位數不同，運算時需要進行對階運算。對階過程略，0.1+0.2與0.3+0.4的尾數求和結果分別如下：

0.1+0.2->10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111
0.3+0.4->10.1100110011001100110011001100110011001100110011001101

求和結果需規格化（有效數字表示），右規導致低位丟失，此時需對丟失的低位進行舍入操作：

0.1+0.2->1.00110011001100110011001100110011001100110011001100111->1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100(入)
0.3+0.4->1.01100110011001100110011001100110011001100110011001101->1.0110011001100110011001100110011001100110011001100110(舍)

即：
00111->0100
01101->0110

此處同樣有精度損失。在這裡我們可以發現，0.3+0.4對階階運算且規格化後的運算結果與0.7在二進位制中的儲存尾數相同（可對照尾數後幾位），而0.1+0.2的運算結果與0.3的儲存尾數不同，且0.1+0.2轉化為十進位制時結果為0.300000000000000004。
此時，雖然0.1+0.2與0.3+0.4進行舍入操作的近似位都為1，但一入一舍導致計算結果與“標準答案”的異同。

三、IEEE754標準下的舍入規則

維基百科對最近偶數舍入原則的解釋如下：舍入到最接近，在一樣接近的情況下偶數優先（Ties To Even，這是預設的舍入方式），即會將結果舍入為最接近（精度損失最小）且可以表示的值，但是當存在兩個數一樣接近的時候，則取其中的偶數（在二進位制中是以0結尾的）。

首先要注意的是，保留小數不是隻看後面一位或者兩位，而是看保留位後面的所有位。

如圖，可以看到近似需要看三位，保留位（近似後的最低位）、近似位（保留位的後一位）、粘滯位（sticky bit 近似位後的所有位進行或運算後看作一位）。
當粘滯位為1時，舍入規則可以看作0舍1入，近似位為0舍，近似位為1入（即第一部分小數二進位制儲存為52位尾數時所進行的舍入操作）。
當粘滯位為0時，若近似位為0則捨去。
當粘滯位為0時，若近似位為1，無論舍入精度損失都相同，故需取捨入兩種結果中的偶數：保留位為1時入，保留位為0時舍（即第二部分對階運算規格化時的舍入操作）。

四、總結思考

由於IEEE754標準，這樣的“bug”不止在JavaScript中會出現，在所有采用該標準的語言中都會存在，實際程式設計中可以透過設定精度保留位數等方式解決。