[ARC183D] Keep Perfectly Matched

WrongAnswer_90發表於2024-08-26
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[ARC183D] Keep Perfectly Matched

這場不打感覺虧麻了，怎麼大家都不會 D。首先匹配路徑長度之和最大，很典的想到取重心，猜測答案上界 \(\sum_i dep_i\) 可以取到。

取完重心之後，希望不斷把兩個不同的子樹裡的點進行匹配，直到刪空。因為原樹本身存在完美匹配，所以找一對不同子樹裡的點刪去後，根節點的匹配一定變了。

所以選的點一定有一個在根節點當前的匹配點的子樹裡，否則根節點沒有理由更改匹配點。設這個點為 \(x\)，則 \(x\) 一定滿足：其到根的路徑上，邊的種類是“匹配邊，非匹配邊，匹配邊...”，即：

image.png

圖中標 \(1\) 的邊是匹配邊，可以發現刪六號點是合法的，而刪 \(8\) 號點的過程中會因為連續出現了兩條非匹配邊而寄掉。

這樣確定了一個子樹中的點，另一個點是可以任意選的。因為要儘量匹配對，所以另一個點應該選在除此之外的 \(siz\) 最大的子樹裡面。接下來根的匹配就是選的第二個子樹中的根節點。繼續做上述過程即可。

這樣做為何能取到最優值：設 \(x\) 是根的初始匹配節點，首先第一次刪點的兩棵子樹一定分別是 \((x,y)\)，然後第二次因為此時根和 \(y\) 匹配，所以要刪 \((y,z)\)，以此類推，可以發現除了開始的 \(x\) 刪了一個點，剩下的操作都是，選一個子樹刪兩個點，然後跳到另一棵子樹。

除了 \(x\) 子樹大小是奇數，剩下的子樹大小都是偶數，一開始 \(x\) 刪了 \(1\) 就全部變成了偶數。所以不會有奇偶性不對的情況。如果跳到另一棵子樹選擇當前 \(siz\) 最大的，那就一定能夠刪空。因為此時根是樹的重心，每個子樹內需要的操作次數大小都不會超過 \(\frac m 2\)，其中 \(m\) 是總操作次數，所以這樣做一定不會爆掉。

現在的問題就是如何高效的找出當前能刪掉的合法點。策略也很簡單：對於點 \(x\) 來說，如果初始他的匹配是他的父親，則他兒子可以按任意順序一個一個刪光。

如果初始他的匹配是他的某個兒子，則先把這個兒子全部刪空時最優的。然後他的匹配就變成了他的父親，他剩下的兒子可以任意排列。

可以 \(\text{dfs}\) 求出每個子樹的後序遍歷，如果有某個兒子和他匹配就優先向這個兒子走，這樣可以求出每個點的合法操作序列。然後套用上述過程，總複雜度 \(\mathcal O(n\log n)\) 或者 \(\mathcal O(n)\)。

int n,rt,minn=inf,len,ans[500010],siz[250010];
vi T[250010],ve[250010];
void findrt(int x,int fa=0)
{
	int maxn=0;siz[x]=1;
	for(auto to:T[x])if(to!=fa)
	findrt(to,x),siz[x]+=siz[to],Mmax(maxn,siz[to]);
	if(Mmin(minn,max(n-siz[x],maxn)))rt=x;
}
void dfs(int x,int fa,int top)
{
	ve[top].eb(x);
	for(auto to:T[x])if(to!=fa&&to!=(((x-1)^1)+1))dfs(to,x,top);
	if(fa!=(((x-1)^1)+1))dfs(((x-1)^1)+1,x,top);
}
priority_queue<pii> q;
inline void mian()
{
	read(n);int x,y;pii p;
	for(int i=1;i<n;++i)read(x,y),T[x].eb(y),T[y].eb(x);
	findrt(1),findrt(rt);
	for(auto to:T[rt])dfs(to,rt,to);
	int pos=((rt-1)^1)+1;ans[++len]=ve[pos].back(),ve[pos].pop_back(),--siz[pos];
	for(auto to:T[rt])q.e(mp(siz[to],to));
	for(int I=1;I<(n>>1);++I)
	{
		if(q.top().se==pos)p=q.top(),q.pop();else p=mp(-1,-1);
		pos=q.top().se;
		ans[++len]=ve[pos].back(),ve[pos].pop_back();
		ans[++len]=ve[pos].back(),ve[pos].pop_back();
		siz[pos]-=2;
		q.pop(),q.e(mp(siz[pos],pos));
		if(p.fi!=-1)q.e(p);
	}
	for(auto to:T[rt])if(siz[to])ans[++len]=to;
	ans[++len]=rt;
	for(int i=1;i<=len;i+=2)write(ans[i],' ',ans[i+1],'\n');
}

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