為面試作一些演算法相關的準備～～
一、時間複雜度
通常使用最差的時間複雜度來衡量一個演算法的好壞。
常數時間 O(1) 代表這個操作和資料量沒關係，是一個固定時間的操作，比如說四則運算。
對於一個演算法來說，可能會計算出如下操作次數 aN + 1，N 代表資料量。那麼該演算法的時間複雜度就是 O(N)。因為我們在計算時間複雜度的時候，資料量通常是非常大的，這時候低階項和常數項可以忽略不計。
當然可能會出現兩個演算法都是 O(N) 的時間複雜度，那麼對比兩個演算法的好壞就要通過對比低階項和常數項了。
二、位運算
十進位制和二進位制之間的轉換
位運算在演算法中很有用，速度可以比四則運算快很多。
十進位制33可以看成是32 + 1， 32為2^5，1為2^0。所以就是 100001.
那麼二進位制 100001同理，首位是 2^5 ，末位是2^0，相加得出 33
左移 <<
10 << 1
// 20
複製程式碼左移就是將二進位制全部往左移動，10 在二進位制中表示為 1010 ，左移一位後變成 10100 ，轉換為十進位制也就是 20，所以基本可以把左移看成以下公式a * (2 ^ b)
左移 <<
10 >> 1
// 5
複製程式碼算數右移就是將二進位制全部往右移動並去除多餘的右邊，10 在二進位制中表示為 1010 ，右移一位後變成 101 ，轉換為十進位制也就是 5，所以基本可以把右移看成以下公式int v = a / (2 ^ b)
- 右移的一個用處就是在二分法的時候，計算中間值
13 >> 1 // -> 6
三、排序
兩通用函式
function checkArray(arr) {
if(!arr | arr.length <= 2) {
return false
}
return true
}
// 交換陣列中的兩個值
function swap(array, left, right) {
let rightValue = array[right]
array[right] = array[left]
array[left] = rightValue
}
複製程式碼1、氣泡排序
氣泡排序的原理如下，從第一個元素開始，把當前元素和下一個索引元素進行比較。如果當前元素大，那麼就交換位置，重複操作直到比較到最後一個元素，那麼此時最後一個元素就是該陣列中最大的數。下一輪重複以上操作，但是此時最後一個元素已經是最大數了，所以不需要再比較最後一個元素，只需要比較到 length - 1 的位置。
// 氣泡排序
function sort_1 (arr) {
// 外迴圈決定比較幾輪次
for(var i = arr.length-1; i > 0; i--) {
// 內迴圈決定每一輪最少比較幾次
for(var j = 0; j < i; j ++) {
if(arr[j] > arr[j+1]) {
swap(arr, j, j+1);
}
}
}
}
/**
共有 5 元素，
一共比4次。
第一輪 比較 4次
第二輪 3次
第三輪 2次
第四輪 1次
最後一輪 0次
**/
複製程式碼- 冒泡就是，每次迴圈將該迴圈中的較大元素往後面放，小的往前面放。O(n*n)
2、插入排序
插入排序原理： 將陣列分為兩部分，前一部分是已經排好的序列，之後是未排序的序列，我們每次從未排序的序列中拿第一個，根前面已經排好的序列中從頭進行比較，找到合適的位置，進行放置。我們最初假設第一次的時候，第一個是排好的。
// 插入排序
function sort_2(arr) {
// 對除第一個元素之外的元素進行向前插入
for(var i = 1 ; i < arr.length; i++){
// 取到未排序的序列的第一個元素，往左側進行插入。
for(var j = 0; j < i ; j++) {
if(arr[j] > arr[i]) {
swap(arr, j, i);
}
}
}
}
複製程式碼3、選擇排序
選擇排序原理：每次從待排序的序列中找到最小的放在前面
// 每次從待排序的序列中找到最小的放在前面
function sort_3(arr) {
// 一共需要確定幾次最小值 n-1次
for(var i = 0 ; i < arr.length-1 ; i++) {
// 從已經排好的之後開始，找到最小值，放入該序列的最開始，
for(var j = i + 1; j < arr.length; j++) {
if(arr[i] > arr[j]) {
swap(arr, i, j);
}
}
}
}
/**
3 89 72 43 1
3之後的序列中找到比3還小的，然後替換3的位置
1 89 72 43 3
89之後的序列中找比89還小的，然後替換89的位置
1 3 72 43 89
...
**/
複製程式碼4、快速排序
基本思想是選取一個記錄作為樞軸，經過一趟排序，將整段序列分為兩個部分，其中一部分的值都小於樞軸，另一部分都大於樞軸。然後繼續對這兩部分繼續進行排序，從而使整個序列達到有序。
// 將陣列劃分為兩部分，最終基值會在陣列的中間某一位置，左側的都比base小，右側的都比 base大。
function partion(arr, left, right) {
let base = arr[left]; //基準值，預設取陣列第一個元素
// 當left和right指標相遇的時候，也就是重合的時候就跳出迴圈
while(left<right) {
// 先從右側開始，找比base小的，然後交換位置
while(left < right && arr[right] >= base) {
right --;
}
if(left<right) {
swap(arr, left, right);
}
// 再從左側開始，找比base大的，交換位置
while(left < right && arr[left] <= base) {
left ++;
}
if( left < right) {
swap(arr, left, right)
}
}
arr[left] = base;
return left;
}
// 快速排序
function quickSort(arr, left, right) {
let dp;
if(left < right) {
dp = partion(arr, left, right); // 第一步： 定位第一個基值，左側的小，右側的大
quickSort(arr, left, dp-1); // 第二步： 排序左側的
quickSort(arr, dp+1, right); // 第三步： 排序右側的
}
}
複製程式碼演算法題：
輸入: [2,0,2,1,1,0]
輸出: [0,0,1,1,2,2]
複製程式碼使用三路快排的思想:
function swap(array, left, right) {
let rightValue = array[right]
array[right] = array[left]
array[left] = rightValue
}
var sortColors = function(nums) {
let left = -1
let right = nums.length
let i = 0
// 下標如果遇到 right，說明已經排序完成
while (i < right) {
// 遇到0，往左側放
if (nums[i] == 0) {
swap(nums, i++, ++left)
} else if (nums[i] == 1) {
// 1自然就到中間了
i++
} else {
// 遇到 2 往右側放
swap(nums, i, --right)
}
}
}
複製程式碼找出陣列中第 K 大的元素
複製程式碼使用快排來確定第K小。
function partition(items, left, right) {
var pivot = items[Math.floor((right + left) / 2)],
i = left,
j = right;
while (i <= j) {
while (items[i] < pivot) {
i++;
}
while (items[j] > pivot) {
j--;
}
if (i <= j) {
swap(items, i, j);
i++;
j--;
}
}
return i;
}
function quickSort(items, left, right, k) {
k = k -1
while (left < right) {
// 分離陣列後獲得比基準樹大的第一個元素索引
let index = partition(items, left, right)
// 判斷該索引和 k 的大小
if (index < k) {
left = index + 1
} else if (index > k) {
right = index - 1
} else {
break
}
}
return items[k]
}
// first call
var result = quickSort(a, 0, a.length - 1, 7);
console.log(result);
複製程式碼四、連結串列
與陣列相似，連結串列也是一種線性資料結構。這裡有一個例子：
正如你所看到的，連結串列中的每個元素實際上是一個單獨的物件，而所有物件都通過每個元素中的引用欄位連結在一起。
連結串列結構可以充分利用計算機記憶體空間，實現靈活的記憶體動態管理。但是連結串列失去了陣列隨機讀取的優點，同時連結串列由於增加了結點的指標域，空間開銷比較大。同時連結串列在遍歷上會話費較多的時間，但是在插入和刪除上卻是較為方便的。
連結串列有兩種型別：單連結串列和雙連結串列。上面給出的例子是一個單連結串列，這裡有一個雙連結串列的例子：
1、新增操作 - 單連結串列
與陣列不同，我們不需要將所有元素移動到插入元素之後。因此，您可以在 O(1) 時間複雜度中將新結點插入到連結串列中，這非常高效。
2、刪除操作 - 單連結串列
首先從頭遍歷連結串列，直到我們找到前一個結點 prev。
- 實現一個連結串列：
function Node(value) {
this.value = value;
this.next = null;
}
function LinkList() {
this.head = null;
this.size = 0;
}
/**
* [連結串列末尾插入]
* @param {[type]} val [description]
*/
LinkList.prototype.push = function(val) {
var node = new Node(val);
if(this.head == null) {
this.head = node;
} else {
var current = this.head;
while(current.next != null) {
current = current.next;
}
current.next = node;
}
this.size++;
}
/**
* 往某一個節點後插入一個節點
* @type {Node}
*/
LinkList.prototype.insertAfter = function(value, item) {
var node = new Node(value);
var current = this.find(item); // 找到該節點
if(current == null) {
console.log('未找到該元素');
}
node.next = current.next;
current.next = node;
this.size ++;
}
/**
* 查詢某節點
* @param {[type]} item [元素值]
* @return {[type]} [description]
*/
LinkList.prototype.find = function(item) {
var currentNode = this.head;
if (currentNode == null) {
console.log("這是一個空連結串列！！！");
return null;
}
if (currentNode.value === item) {
return currentNode;
}
while(currentNode&¤tNode.value != item) {
currentNode = currentNode.next;
}
return currentNode;
}
/**
* 展示
* @return {[type]} [description]
*/
LinkList.prototype.show = function() {
console.log('======start====')
var current = this.head;
var index = 0;
while(current) {
console.log('序號：', ++index, current.value);
current = current.next;
}
console.log('======end====')
}
function remove(value) {
var previous = this.findPrevious(value);
var current = this.find(value);
if (previous == null) {
return console.log('連結串列中找不到被刪除的元素');
}
previous.next = current.next;
length--;
}
/**
* 刪除某一個節點
* 找到前一個節點prev。 prev.next = current.next
* @param {[type]} value [description]
* @return {[type]} [description]
*/
LinkList.prototype.remove = function(value) {
var previous = this.findPrevious(value);
console.log('前一個節點為', previous.value);
var current = this.find(value);
if (previous == null) {
console.log('連結串列中找不到被刪除的元素');
return
}
previous.next = current.next;
this.size--;
}
/**
* 找到某一個節點的前一個節點
* @param {[type]} value [description]
* @return {[type]} [description]
*/
LinkList.prototype.findPrevious = function(value) {
var current = this.head;
if (current == null) {
console.log('這是一個空連結串列');
return null;
}
while(current) {
if(current.next.value == value) {
return current;
}
current = current.next;
}
return null;
}
var l = new LinkList();
l.push(1);
l.push(3);
l.push(4);
l.push(5);
l.push(6);
l.show();
l.remove(3);
l.show();
複製程式碼單連結串列反轉：
LinkList.prototype.reveser = function () {
var head = this.head;
if ( head == undefined || !head.next == undefined ) return ;
var p,q,r;
p = head;
q = p.next;
head.next = undefined;
while(q){
r = q.next;
q.next = p;
p = q;
q = r;
}
this.head = p;
};
複製程式碼原理：
五、樹
樹 是一種經常用到的資料結構，用來模擬具有樹狀結構性質的資料集合。
樹裡的每一個節點有一個根植和一個包含所有子節點的列表。從圖的觀點來看，樹也可視為一個擁有N個節點和N-1條邊的一個有向無環圖。
1、二叉樹
二叉樹是一種更為典型的樹樹狀結構。如它名字所描述的那樣，二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構，通常子樹被稱作 “左子樹”和“右子樹”。
2、二叉搜尋樹
【二叉樹搜尋樹】 （BST） 是二叉樹的一種，但是它只允許你在左側節點儲存（比父節點）小的值，在右側節點儲存（比父節點）大（或者等於）的值。
這種儲存方式很適合於資料搜尋。如下圖所示，當需要查詢 6 的時候，因為需要查詢的值比根節點的值大，所以只需要在根節點的右子樹上尋找，大大提高了搜尋效率。
二叉搜尋樹的插入操作
- 插入一個6:
首先會檢測二叉樹是否為空？
第二檢測根節點(key[6] < root[11]為真),然後繼續檢測（node.left不是null），到達node.left[7]節點。
第三檢測(key[6] < key[7]為真),然後繼續檢測（node.left不是null），到達node.left[5]節點。
最後檢測(key[6] < key[5]為真),然後繼續檢測（node.right不是null），為空新增在key[5]右節點新增key[6]。
複製程式碼- 移除一個節點5:
首先會檢測二叉樹是否為空？
第二檢測根節點(key[5] = root[11]為真),然後檢查（key[5] < root[11]）然後繼續檢測（node.left不是null），到達node.left[7]節點。
第三檢測根節點(key[5] = key[7]為真),然後檢查(key[5] < key[7]為真),然後繼續檢測（node.left不是null），到達node.left[5]節點。
第四檢測(key[5] = key[5]為真),然後刪除 key[5]節點。
最後(key[5] )子節點，key[3]的父節點改成原來key[5]的父節點key[7]。
複製程式碼3、樹的遍歷
前序遍歷
中序遍歷
後序遍歷
值得注意的是，當你刪除樹中的節點時，刪除過程將按照後序遍歷的順序進行。 也就是說，當你刪除一個節點時，你將首先刪除它的左節點和它的右邊的節點，然後再刪除節點本身。
另外，後序在數學表達中被廣泛使用。
4、二叉搜尋樹的實現
/**
* 節點類
* @param {[type]} val [description]
* @constructor
*/
function Node(val) {
this.key = val;
this.left = this.right = null;
}
/**
* 二叉搜尋樹 BST
* @constructor
*/
function BinaryTree() {
this.root = null;
this.size = 0;
}
BinaryTree.prototype.constructor = BinaryTree;
/**
* 向二叉樹插入一個新的值
* @param {[type]} key [值]
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.insert = function(key) {
var newNode = new Node(key);
if(this.root === null) {
this.root = newNode;
} else {
this.insertNode(this.root, newNode);
}
}
/**
* 往某一個節點下插入一個新的節點
* @param {[type]} node [description]
* @param {[type]} newNode [description]
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.insertNode = function(node,newNode) {
if(node.key > newNode.key){
if(node.left==null){
node.left=newNode;
}else{
this.insertNode(node.left,newNode)
}
}else{
if(node.right==null){
node.right=newNode
} else {
this.insertNode(node.right,newNode)
}
}
}
/**
* 獲取根節點
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.getRoot = function() {
return this.root;
}
/**
* 中序遍歷，從根開始
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.inOrderTraverse = function(callback) {
this.inOrderTraverseNode(this.root, callback);
}
/**
* 中序遍歷從某一節點開始的子節點
* @param {[type]} node [description]
* @param {Function} callback [description]
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.inOrderTraverseNode = function(node, callback) {
if(node!=null) {
this.inOrderTraverseNode(node.left, callback); // 遍歷左側
callback(node.key); // 輸出節點
this.inOrderTraverseNode(node.right, callback); // 遍歷右側
}
}
/**
* 先序遍歷，從根開始
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.preOrderTraverse = function(callback) {
this.preOrderTraverseNode(this.root, callback);
}
/**
* 中序遍歷從某一節點開始的子節點
* @param {[type]} node [description]
* @param {Function} callback [description]
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.preOrderTraverseNode = function(node, callback) {
if(node!=null) {
callback(node.key); // 輸出節點
this.preOrderTraverseNode(node.left, callback); // 遍歷左側
this.preOrderTraverseNode(node.right, callback); // 遍歷右側
}
}
/**
* 後序遍歷，從根開始
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.postOrderTraverse = function(callback) {
this.postOrderTraverseNode(this.root, callback);
}
/**
* 後序遍歷從某一節點開始的子節點
* @param {[type]} node [description]
* @param {Function} callback [description]
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.postOrderTraverseNode = function(node, callback) {
if(node!=null) {
this.postOrderTraverseNode(node.left, callback); // 遍歷左側
this.postOrderTraverseNode(node.right, callback); // 遍歷右側
callback(node.key); // 輸出節點
}
}
// =========測試
var tree = new BinaryTree();
tree.insert(11);
tree.insert(7);
tree.insert(15);
tree.insert(5);
tree.insert(3);
tree.insert(9);
tree.insert(8);
tree.insert(10);
tree.insert(13);
tree.insert(12);
tree.insert(14);
tree.insert(20);
tree.insert(18);
tree.insert(25);
tree.insert(6);
// //11,7,15,5,3,9,8,10,13,12,14,20,18,25,6
function printNode(value){
console.log(value);
}
// 中序遍歷
// tree.inOrderTraverse(printNode);
// 先序遍歷
// tree.preOrderTraverse(printNode);
// 後序遍歷
tree.postOrderTraverse(printNode);
複製程式碼以上實現了一個二叉搜尋樹，並測試了三種遍歷手段。
以上的這幾種遍歷都可以稱之為深度遍歷，對應的還有種遍歷叫做廣度遍歷，也就是一層層地遍歷樹。對於廣度遍歷來說，我們需要利用之前講過的佇列結構來完成。
以下是廣度遍歷：
原理：父節點出佇列，他的左右子節點進佇列
breadthTraversal() {
if (!this.root) return null
let q = new Queue()
// 將根節點入隊
q.enQueue(this.root)
// 迴圈判斷佇列是否為空，為空
// 代表樹遍歷完畢
while (!q.isEmpty()) {
// 將隊首出隊，判斷是否有左右子樹
// 有的話，就先左後右入隊
let n = q.deQueue()
console.log(n.value)
if (n.left) q.enQueue(n.left)
if (n.right) q.enQueue(n.right)
}
}
複製程式碼如何在樹中尋找最小值或最大數。因為二分搜尋樹的特性，所以最小值一定在根節點的最左邊，最大值在最右邊。程式碼如下：
/**
* 獲取整個樹的最小值
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.getMin = function() {
return this.getMinNode(this.root);
}
/**
* 獲取某一個節點之下的最小值
* @param {[type]} node [description]
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.getMinNode = function(node) {
if(node) {
while(node && node.left !== null) {
node = node.left;
}
return node.key;
}
return null;
}
/**
* 獲取整個樹的最大值
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.getMax = function() {
return this.getMaxNode(this.root);
}
/**
* 獲取某一個節點之下的最大值
* @param {[type]} node [description]
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.getMaxNode = function(node) {
if(node) {
while(node && node.right !== null) {
node = node.right;
}
return node.key;
}
return null;
}
複製程式碼- 如果是獲取第k小元素
思路： 使用中序遍歷，得到的就是一個排好序的陣列，然後取其第k-1項。
- 二叉搜尋樹的刪除節點操作：
會存在以下幾種情況
需要刪除的節點沒有子樹
需要刪除的節點只有一條子樹
需要刪除的節點有左右兩條樹
複製程式碼程式碼如下：
/**
* 移除某一個元素
* @param {[type]} element [description]
* @return {[type]} [description]
*/
BinaryTree.prototype.remove = function(element) {
return this.removeNode(this.root, element);
}
BinaryTree.prototype.removeNode = function(node, element) {
if(node === null) {
return null;
}
// 首先確定要刪除的節點的位置
if(element < node.key) {
// 如果是比當前節點小，就去左側找
// 返回一個新的左子樹
node.left = this.removeNode(node.left, element);
return node;
} else if(element > node.key) {
// 如果是比當前節點大，就去右側找
// 返回一個新的右子樹
node.right = this.removeNode(node.right, element);
return node;
} else {
// 找到該節點之後
// 葉子節點，直接置為null
if(node.left === null && node.right === null) {
node = null;
return node;
}
// 左子樹為空
if(node.left === null) {
node = node.right;
return node;
} else if(node.right === null) {
// 右子樹為空
node = node.left;
return node;
}
// 左右都不為空
var aux = this.findMinNode(node.right); // 找出右子樹的最小
node.key = aux.key;
node.right = this.removeNode(node.right, aux.key);
return node;
}
}
function findMinNode(node) {
if (node) {
while (node && node.left !== null) {
node = node.left
}
return node
}
return null
}
複製程式碼4、AVL樹（平衡二叉樹）
AVL樹本質上是一顆二叉查詢樹，但是它又具有以下特點：它是一棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，並且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。在AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差別為一，所以它也被稱為平衡二叉樹。下面是平衡二叉樹和非平衡二叉樹對比的例圖：
AVL樹的作用
二分搜尋樹實際在業務中是受到限制的，因為並不是嚴格的 O(logN)，在極端情況下會退化成連結串列，比如加入一組升序的數字就會造成這種情況。由於在刪除時，我們總是選擇將待刪除節點的後繼代替它本身，這樣就會造成總是右邊的節點數目減少，以至於樹向左偏沉。這同時也會造成樹的平衡性受到破壞。
例如：我們按順序將一組資料1,2,3,4,5,6分別插入到一顆空二叉查詢樹和AVL樹中，插入的結果如下圖：
AVL樹的基本操作
AVL樹的操作基本和二叉查詢樹一樣，這裡我們關注的是兩個變化很大的操作：插入和刪除！ 我們要做一些特殊的處理，包括：單旋轉和雙旋轉：