學習日常：造資料 - 下

godmoo發表於2024-08-08

前言

好吧，咕了很久的這篇文章的後半部分終於來啦！

上一篇文章連結：科技·工程：構建造資料神器 - 上。

在上一篇文章中，我們寫好了一個批處理的資料生成器，而在這篇文章中，你將瞭解到常見的一些資料都是怎麼造出來的。

常見資料

有哪些常見的要造的資料呢？無非就是樹啊、圖啊、多測啊等等，我們今天就先探討一部分，等我什麼時候想到別的了再填坑

隨機數

rand 和 srand

這兩個函式是 C 中的隨機數函式，在標頭檔案 <cstdlib> 下定義，函式原型：

int rand();
void srand( unsigned seed );

rand() 是一個偽隨機的函式，返回一個 \([0,RAND\_MAX]\) 中的數。

srand( unsigned seed ) 是用於設定隨機種子的，初始的隨機種子為 \(1\)。

所以，我們常用 srand(time(0)) 來初始化隨機種子，這樣就能保證每次執行時隨機出來的數不一樣。

但是 rand() 有很大的問題，我們來看 cppreference 上的一段話：

……不保證生成的隨機數列質量。 過去，一些 rand() 在隨機性、分佈和產生的序列週期上有嚴重缺陷（在一個眾所周知的例子中，呼叫之間最低位簡單地在 \(1\) 與 \(0\) 間切換）。
對於嚴肅的隨機數生成需求不推薦使用 rand()。推薦用 C++11 的隨機數生成設施替換 rand()。 (C++11 起)

由這段文字我們知道，rand() 生成的隨機數的質量並不高，日常用用還行，造資料時就應該另尋他法了。

mt19937

這是 C++11 中的一個隨機數引擎，也是目前 OI 中常見的生成隨機數的工具。

這個隨機數引擎採用梅森旋轉演算法，週期長度為可達 \(2^{19937}-1\)，這也是它名字的由來。

它的值域大概是整個 \(\text{int}\) 的範圍，而且它還有 \(64\) 位的版本——mt19937_64。

我們在定義時就設定好隨機種子，同樣用時間作為隨機種子：

std::mt19937_64 rnd(std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());

然後呼叫時用 rnd() 即可。

我們接下來用的也是這個隨機數的引擎。

同時，我們還可以寫一個在 \([l,r]\) 之間生成隨機數的函式：

ll rand(ll l, ll r) {
    return rnd() % (r - l + 1) + l;
}

打亂

打亂顯然可以用 <algorithm> 下的 shuffle 函式，此函式的使用請自行參閱其他語法資料：

template<class RandomIt>
void shuffle(RandomIt first, RandomIt last) {
    std::default_random_engine generator(rnd());
    std::shuffle(first, last, generator);
}

template<class RandomIt>
void shuffle(RandomIt* first, RandomIt* last) {
    std::default_random_engine generator(rnd());
    std::shuffle(first, last, generator);
}

注意到原生指標並不是 class template，所以我們需要對原生指標的情況進行偏特化。

多測

多測的題是很常見的，在多測的題中，通常會給定部分引數的 \(\footnotesize\sum\) 作為資料範圍，那麼我們就需要【隨機出 \(n\) 個和為 \(s\) 的數】。

另外，這些數往往還會有下界，這個下界一般都是一個較小的常數，常見的應該就是 \(1\) 到 \(3\)。

所以問題轉變為【隨機出 \(n\) 個和為 \(s\) 的數，每個數至少為 \(mn\)】。

容易想到隨機出字首和再做一次差分即可，\(mn\) 的限制等價於【隨機出來的兩個字首和的差至少為 \(mn\)】，於是 std::set 判重即可。

std::vector<ll> split(ll n, ll s, ll mn = 1) {
    assert(n > 0 && s >= n * mn);
    std::vector<ll> res;
    std::set<ll> st;
    while ((ll) res.size() < n) {
        assert((ll) st.size() < s - mn + 1);
        int tmp = st.empty() ? s : rand(mn, s);
        if (st.insert(tmp).second) {
            res.push_back(tmp);
            for (ll i = 1; i < mn; i++) {
                if(tmp - i >= mn) st.insert(tmp - i);
                if(tmp + i <= s) st.insert(tmp + i);
            }
        }
    }
    std::sort(res.begin(), res.end());
    for (ll i = res.size() - 1; i >= 1; i--) res[i] -= res[i - 1];
    return res;
}

注意，這份程式碼要求 \(mn\gt1\)，不然就無法造出為 \(0\) 的數（被 std::set 判掉了），如有需要，自行改程式碼/手寫。

還有，這份程式碼是純靠隨機的。也就是說，如果只剩一個可選的數，我們認為要 \(O(s)\) 次才能選到這個數，於是複雜度 \(O(s\log s)\)，資料範圍太大時完全承受不起。但是我們說過，\(mn\) 一般是一個小常數，況且 \(n\) 的數量級應該會比 \(s\) 小很多（不然每個數就太小了），所以這樣子的情況極低，如果真的有需要每個數都要很小那就自己另外寫吧。

樹

隨機的樹怎麼造呢？容易想到 \(\text{prufer}\) 序列：先隨機出 \(\text{prufer}\) 序列，再 \(\text{prufer to tree}\) 即可，期望深度 \(O(\log n)\)，如果需求更復雜可以自行研究/使用別的工具，比如 ouuan 的 \(\text{Tree Generator}\)。

std::vector<std::pair<int, int>> tree(int n) {
    assert(n > 0);
    std::vector<std::pair<int, int>> res;
    if (n == 1) return res;
    std::vector<int> prufer(n - 2);
    for (auto &x : prufer) x = rand(1, n);
    std::vector<int> deg(n + 1, 1);
    for (int x : prufer) ++deg[x];
    int cur = 0;
    while (deg[++cur] != 1);
    int leaf = cur;
    for (int x : prufer) {
        res.push_back({x, leaf});
        if (--deg[x] == 1 && x < cur) leaf = x;
        else {
            while (deg[++cur] != 1);
            leaf = cur;
        }
    }
    res.push_back({n, leaf});
    return res;
}

圖

只說連通圖，其他自己造。

樹上隨機加邊即可，用 std::set 判掉重邊。

可以加個小最佳化，就是當 \(m>\frac{n(n-1)}{2}-(n-1)\) 時，這個時候圖非常稠密，隨機複雜度很高，建出完全圖，接著隨機刪邊即可。（但這樣就意味著 \(n\) 很小，好像問題也不大）。

std::vector<std::pair<int, int>> graph(int n, ll m) {
    assert(n > 0);
    assert(m >= n - 1 && m <= n * (n - 1) / 2);
    if(m > n * (n - 1) / 2 - (n - 1)){
    	std::vector<std::pair<int, int>> res;
    	for(int u = 1; u <= n; u++){
    		for(int v = u + 1; v <= n; v++){
    			res.push_back({u, v});
			}
		}
		shuffle(res.begin(),res.end());
		for(int i = m + 1; i <= n * (n - 1) / 2; i++) res.pop_back();
		return res;
	}
    auto res = tree(n);
    std::set<std::pair<int, int>> st;
    for (const auto &e : res) {
        st.insert(e);
        st.insert({e.second, e.first});
    }
    m -= (n - 1);
    while (m--) {
        generate_edge:;
        int u = rand(1, n), v = u;
        while (u == v) v = rand(1, n);
        if (!st.insert({u, v}).second || !st.insert({v, u}).second) goto generate_edge;
        res.push_back({u, v});
    }
    return res;
}

宣告

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