大家好，我是東哥。
本篇想和大家介紹下層次聚類，先通過一個簡單的例子介紹它的基本理論，然後再用一個實戰案例Python程式碼實現聚類效果。
首先要說，聚類屬於機器學習的無監督學習，而且也分很多種方法，比如大家熟知的有K-means。層次聚類也是聚類中的一種，也很常用。下面我先簡單回顧一下K-means的基本原理，然後慢慢引出層次聚類的定義和分層步驟，這樣更有助於大家理解。
層次聚類和K-means有什麼不同？
K-means 工作原理可以簡要概述為：
- 決定簇數（k）
- 從資料中隨機選取 k 個點作為質心
- 將所有點分配到最近的聚類質心
- 計算新形成的簇的質心
- 重複步驟 3 和 4
這是一個迭代過程，直到新形成的簇的質心不變，或者達到最大迭代次數。
但是 K-means 是存在一些缺點的，我們必須在演算法開始前就決定簇數 K 的數量，但實際我們並不知道應該有多少個簇，所以一般都是根據自己的理解先設定一個值，這就可能導致我們的理解和實際情況存在一些偏差。
層次聚類完全不同，它不需要我們開始的時候指定簇數，而是先完整的形成整個層次聚類後，通過決定合適的距離，自動就可以找到對應的簇數和聚類。
什麼是層次聚類？
下面我們由淺及深的介紹什麼是層次聚類，先來一個簡單的例子。
假設我們有以下幾點，我們想將它們分組：
我們可以將這些點中的每一個分配給一個單獨的簇，就是4個簇（4種顏色）：
然後基於這些簇的相似性（距離），將最相似的（距離最近的）點組合在一起並重復這個過程，直到只剩下一個叢集：
上面本質上就是在構建一個層次結構。先了解到這裡，後面我們詳細介紹它的分層步驟。
層次聚類的型別
主要有兩種型別的層次聚類：
- 凝聚層次聚類
- 分裂層次聚類
凝聚層次聚類
先讓所有點分別成為一個單獨的簇，然後通過相似性不斷組合，直到最後只有一個簇為止，這就是凝聚層次聚類的過程，和我們上面剛剛說的一致。
分裂層次聚類
分裂層次聚類正好反過來，它是從單個叢集開始逐步分裂，直到無法分裂，即每個點都是一個簇。
所以無論是 10、100、1000 個資料點都不重要，這些點在開始的時候都屬於同一個簇：
現在，在每次迭代中拆分簇中相隔最遠的兩點，並重復這個過程，直到每個簇只包含一個點：
上面的過程就是分裂層次聚類。
執行層次聚類的步驟
上面已經說了層次聚類的大概過程，那關鍵的來了，如何確定點和點的相似性呢？
這是聚類中最重要的問題之一了，一般計算相似度的方法是：計算這些簇的質心之間的距離。距離最小的點稱為相似點，我們可以合併它們，也可以將其稱為基於距離的演算法。
另外在層次聚類中，還有一個稱為鄰近矩陣的概念，它儲存了每個點之間的距離。下面我們通過一個例子來理解如何計算相似度、鄰近矩陣、以及層次聚類的具體步驟。
案例介紹
假設一位老師想要將學生分成不同的組。現在有每個學生在作業中的分數，想根據這些分數將他們分成幾組。關於擁有多少組，這裡沒有固定的目標。由於老師不知道應該將哪種型別的學生分配到哪個組，因此不能作為監督學習問題來解決。下面，我們將嘗試應用層次聚類將學生分成不同的組。
下面是個5名學生的成績：
建立鄰近矩陣
首先，我們要建立一個鄰近矩陣，它儲存了每個點兩兩之間的距離，因此可以得到一個形狀為 n X n 的方陣。
這個案例中，可以得到以下 5 x 5 的鄰近矩陣：
矩陣裡有兩點需要注意下：
- 矩陣的對角元素始終為 0，因為點與其自身的距離始終為 0
- 使用歐幾里得距離公式來計算非對角元素的距離
比如，我們要計算點 1 和 2 之間的距離，計算公式為：
$$ \sqrt{(10-7)^2}=\sqrt{9}=3 $$
同理，按此計算方法完成後填充鄰近矩陣其餘元素。
執行層次聚類
這裡使用凝聚層次聚類來實現。
步驟 1： 首先，我們將所有點分配成單個簇：
這裡不同的顏色代表不同的簇，我們資料中的 5 個點，即有 5 個不同的簇。
步驟2： 接下來，我們需要查詢鄰近矩陣中的最小距離併合並距離最小的點。然後我們更新鄰近矩陣：
最小距離是 3，因此我們將合併點 1 和 2：
讓我們看看更新的叢集並相應地更新鄰近矩陣：
更新之後，我們取了1、2 兩個點中值 (7, 10) 最大的來替換這個簇的值。當然除了最大值之外，我們還可以取最小值或平均值。然後，我們將再次計算這些簇的鄰近矩陣：
第 3 步： 重複第 2 步，直到只剩下一個簇。
重複所有的步驟後，我們將得到如下所示的合併的聚類：
這就是凝聚層次聚類的工作原理。但問題是我們仍然不知道該分幾組？是2、3、還是4組呢？
下面開始介紹如何選擇聚類數。
如何選擇聚類數？
為了獲得層次聚類的簇數，我們使用了一個概念，叫作樹狀圖。
通過樹狀圖，我們可以更方便的選出聚類的簇數。
回到上面的例子。當我們合併兩個簇時，樹狀圖會相應地記錄這些簇之間的距離並以圖形形式表示。下面這個是樹狀圖的原始狀態，橫座標記錄了每個點的標記，縱軸記錄了點和點之間的距離：
當合並兩個簇時，將會在樹狀圖中連線起來，連線的高度就是點之間的距離。下面是我們剛剛層次聚類的過程。
然後開始對上面的過程進行樹狀圖的繪製。從合併樣本 1 和 2 開始，這兩個樣本之間的距離為 3。
可以看到已經合併了 1 和 2。垂直線代表 1 和 2 的距離。同理，按照層次聚類過程繪製合併簇類的所有步驟，最後得到了這樣的樹狀圖：
通過樹狀圖，我們可以清楚地形象化層次聚類的步驟。樹狀圖中垂直線的距離越遠代表簇之間的距離越大。
有了這個樹狀圖，我們決定簇類數就方便多了。
現在我們可以設定一個閾值距離，繪製一條水平線。比如我們將閾值設定為 12，並繪製一條水平線，如下：
從交點中可以看到，聚類的數量就是與閾值水平線與垂直線相交的數量（紅線與 2 條垂直線相交，我們將有 2 個簇）。與橫座標相對應的，一個簇將有一個樣本集合為 (1,2,4)，另一個叢集將有一個樣本集合 (3,5)。
這樣，我們就通過樹狀圖解決了分層聚類中要決定聚類的數量。
Python程式碼實戰案例
上面是理論基礎，有點數學基礎都能看懂。下面介紹下在如何用程式碼Python來實現這一過程。這裡拿一個客戶細分的資料來展示一下。
資料集和程式碼在這裡：
https://github.com/xiaoyusmd/...
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這個資料來源於UCI 機器學習庫。我們的目的是根據批發分銷商的客戶在不同產品類別（如牛奶、雜貨、地區等）上的年度支出，對他們進行細分。
首先對資料進行一個標準化，為了讓所有資料在同一個維度便於計算，然後應用層次聚類來細分客戶。
from sklearn.preprocessing import normalize
data_scaled = normalize(data)
data_scaled = pd.DataFrame(data_scaled, columns=data.columns)
import scipy.cluster.hierarchy as shc
plt.figure(figsize=(10, 7))
plt.title("Dendrograms")
dend = shc.dendrogram(shc.linkage(data_scaled, method='ward'))
x 軸包含了所有樣本，y 軸代表這些樣本之間的距離。距離最大的垂直線是藍線，假如我們決定要以閾值 6 切割樹狀圖：
plt.figure(figsize=(10, 7))
plt.title("Dendrograms")
dend = shc.dendrogram(shc.linkage(data_scaled, method='ward'))
plt.axhline(y=6, color='r', linestyle='--')
現在我們有兩個簇了，我們要對這 2 個簇應用層次聚類：
from sklearn.cluster import AgglomerativeClustering
cluster = AgglomerativeClustering(n_clusters=2, affinity='euclidean', linkage='ward')
cluster.fit_predict(data_scaled)
由於我們定義了 2 個簇，因此我們可以在輸出中看到 0 和 1 的值。0 代表屬於第一個簇的點，1 代表屬於第二個簇的點。
plt.figure(figsize=(10, 7))
plt.scatter(data_scaled['Milk'], data_scaled['Grocery'], c=cluster.labels_) 
到這裡我們就成功的完成了聚類。
參考：https://www.analyticsvidhya.c...
原創不易，覺得不錯點個贊。
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