這是演算法考試的最後一題,當時匆匆寫了個基於 Subset Sum 的解法,也沒有考慮是否可行。
問題描述如下:
給定 \(n\) 個正整數 \(a_1 \dots a_n\) ,設下標的整數集合 \(V=\{1,2,3,\dots,n\}\) , 確定是否有三個不相交的子集 \(I,J,K \sub V\) ,滿足 \(I \cup J \cup K = V\),並且:
\[\sum_{i \in I} a_i = \sum_{j \in J}a_j = \sum_{k \in K} a_k = \frac{sum}{3} \]其中, \(sum\) 是所有元素之和,要求複雜度是關於 \(n\) 和 \(sum\) 的多項式時間解法。
基於 Subset Sum 的解法
Subset Sum 問題:給定一個整數陣列 nums
和整數 target
,問是否存在 nums
的子集,它的和為 target
,每個元素只能使用一次。
顯然 Subset Sum 問題是揹包問題的特殊情況,當揹包問題中所有物品的價值等於體積,那麼就是 Subset Sum 問題。
思路:
- 假設
subsetSum(nums, target)
能夠在nums
找到所有和為target
的子集。 - 問題等價於找到 2 個子集 \(I, J \sub V\) ,並且 \(\sum{a_i} = \sum{a_j} = sum/3\) ,那麼剩下的元素必然能保證 \(\sum{a_k} = sum/3\) .
- 通過 Subset Sum 找到所有滿足目標和為
sum/3
的所有子集 \(\mathcal{I}\) ,即subsetSum(V, target = sum/3)
。 - 對於每一個的 \(I \in \mathcal{I}\) ,令 \(V' = V - I\) ,執行
subsetSum(V', target = sum/3)
,如果返回值不為空,那麼說明存在這樣的 \(I,J,K\) 滿足 3-Partition 的條件。
Subset Sum 問題的判定形式通過動態規劃是十分容易解決的,難點在於找出所有這樣的子集。
建議先完成下面的「輸出所有 LCS 的練習」,再進行後文的閱讀。
輸出所有 Subset Sum
定義 dp[i, j]
表示在 nums[0, ..., i]
中不超過 j
的最大和。
轉移方程為:
最後結果為 dp[n, target] == target
.
程式碼實現
vector<vector<int>> subsetSum(vector<int> &nums, int target)
{
int n = nums.size();
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(target + 1, 0));
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j <= target; j++)
{
int x = nums[i - 1];
if (j >= x) dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - x] + x);
else dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
// print all subsets
vector<vector<int>> result;
function<bool(int, int, vector<int>)> getSubsets = [&](int i, int j, vector<int> subset)
{
while (i >= 1 && j >= 0)
{
int x = nums[i - 1];
if (j >= x)
{
int t = dp[i - 1][j - x] + x;
if (dp[i - 1][j] > t) i--;
else if (dp[i - 1][j] < t) j -= x, i--, subset.emplace_back(x);
else
{
getSubsets(i - 1, j, subset);
subset.emplace_back(x), getSubsets(i - 1, j - x, subset);
return true;
}
}
else i--;
}
result.emplace_back(subset);
return true;
};
if (dp[n][target] == target)
{
getSubsets(n, target, vector<int>{});
return result;
}
return {};
}
int main()
{
vector<int> nums = {1, 3, 7, 8, 9};
int t = 16;
auto result = subsetSum(nums, t);
for (auto &v : result)
{
for (int x : v) cout << x << ' ';
cout << endl;
}
}
3-Partition
基於上述的 Subset Sum ,我們可以寫出 3-Partition 的程式碼。
bool threePartition(vector<int> &nums)
{
int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
if (sum % 3 != 0) return false;
int target = sum / 3;
auto subsets = subsetSum(nums, target);
for (auto &I : subsets)
{
vector<int> buf(nums.size() - I.size());
// buf = nums - I
auto itor = set_symmetric_difference(nums.begin(), nums.end(), I.begin(), I.end(), buf.begin());
buf.resize(itor - buf.begin());
if (subsetSum(buf, target).size() != 0) return true;
}
return false;
}
int main()
{
vector<int> nums = {1, 2, 3, 4, 4, 5, 8};
cout << threePartition(nums) << endl;
}
Subset Sum 的時間複雜度為 \(O(nt)\),而此處 t = sum/3
,因此 3-Partition 的時間複雜度為 \(O(kn \cdot sum)\) ,\(k\) 是 集合 \(I\) 的個數,顯然,\(k\) 有可能是指數級別的。
顯然,基於上述操作,我們同樣能找到所有滿足條件的 \(I,J,K\) .
動態規劃
上面是比較容易想到的思路,但這裡的 3-Partition 是一個判定問題,我們只需要給出 YES or NO,而不需要給出具體的 \(I,J,K\) ,因此用動態規劃可以使問題變得簡單。
2-Partition
先考慮 Subset Sum 的一種特殊情況:給定 nums
,問是否存在一個子集 I
, 使得 sum(I) = sum(nums) / 2
.
其實換湯不換藥。
int twoPartition(vector<int> &nums)
{
int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
int n = nums.size();
if (sum % 2 != 0) return false;
// dp[i, j] 表示前 j 個數字中,是否存在一個和為 i 的子集(允許為空集)
vector<vector<int>> dp(sum / 2 + 1, vector<int>(n + 1, false));
for (int i = 0; i <= n; i++) dp[0][i] = true;
for (int i = 1; i <= sum / 2; i++) dp[i][0] = false;
for (int i = 1; i <= sum / 2; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
int x = nums[j - 1];
if (i >= x) dp[i][j] = dp[i][j - 1] || dp[i - x][j - 1];
else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
}
}
return dp[sum / 2][n];
}
3-Partition
定義 dp[j, k]
表示:在 nums[1, ..., n]
中,是否存在一個子集,使得它的和為 j
;同時存在另外一個不相交子集,它的和為 k
.
注意這裡的前提條件是,在 [1, ..., n]
這個範圍,而且 dp[j, k] = true
當且僅當 2 個子集同時存在。
那麼最後的答案是 dp[sum / 3, sum / 3]
.
轉移方程為:
類似於自頂向下的填表順序,轉移方程可以改寫為:
程式碼實現
int threePartition(vector<int> &A)
{
int sum = accumulate(A.begin(), A.end(), 0);
int size = A.size();
if (sum % 3 != 0) return false;
vector<vector<int>> dp(sum + 1, vector<int>(sum + 1, 0));
dp[0][0] = true;
// process the numbers one by one
for (int i = 0; i < size; i++)
{
for (int j = sum; j >= 0; j--)
{
for (int k = sum; k >= 0; k--)
{
if (dp[j][k])
{
dp[j + A[i]][k] = true;
dp[j][k + A[i]] = true;
}
}
}
}
return dp[sum / 3][sum / 3];
}
輸出所有 LCS
輸出一個 LCS 可以參考:https://www.cnblogs.com/sinkinben/p/14536604.html
思路很簡單,在填 dp
表的過程中,轉移路徑實際上就是記錄了 LCS 的結果,我們只需要通過回溯法,找到所有 (alen, blen) => (1, 1)
的路徑即可。
程式碼實現
int lcs(const string &a, const string &b)
{
int alen = a.length(), blen = b.length();
vector<vector<int>> dp(alen + 1, vector<int>(blen + 1, 0));
for (int i = 1; i <= alen; i++)
{
for (int j = 1; j <= blen; j++)
{
if (a[i - 1] == b[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
// print all lcs
function<void(int, int, string)> printlcs = [&](int i, int j, string str)
{
while (i >= 1 && j >= 1)
{
if (a[i - 1] == b[j - 1])
str.push_back(a[i - 1]), i--, j--;
else
{
if (dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]) i--;
else if (dp[i - 1][j] < dp[i][j - 1]) j--;
else
{
printlcs(i - 1, j, str);
printlcs(i, j - 1, str);
return;
}
}
}
reverse(str.begin(), str.end());
result.insert(str);
};
printlcs(alen, blen, "");
for (auto &x : result) cout << x << endl;
return dp[alen][blen];
}
int main()
{
// string a = "cnblog", b = "belong";
string a = "xyxxzxyzxy", b = "zxzyyzxxyxxz";
// string a = "ABCBDAB", b = "BDCABA";
cout << lcs(a, b) << endl;
}