倒水問題

倒水問題的經典形式是這樣的：

“假設有一個池塘，裡面有無窮多的水。現有2個空水壺，容積分別為
5升和6升。問題是如何只用這2個水壺從池塘裡取得3升的水。”

當然題外是有一些合理的限制的，比如從池塘裡灌水的時候，不管壺
裡是不是已經有水了，壺一定要灌滿，不能和另一個壺裡的水位比照
一下“毛估估”（我們可以假設壺是不透明的，而且形狀也不同）；
同樣的，如果要把水從壺裡倒進池塘裡，一定要都倒光；如果要把水
從一個壺裡倒進另一個壺裡，也要都倒光，除非在倒的過程中另一個
壺已經滿了；倒水的時候水沒有損失（蒸發溢位什麼的）等等等等。

事實上，要解決上面這題，你只要用兩個壺中的其中一個從池塘裡灌
水，不斷地倒到另一個壺裡，當第二個壺滿了的時候，把其中的水倒
回池塘裡，反覆幾次，就得到答案了。以5升壺(A)灌6升壺(B)為例：
A   B
0   0
5   0   A->B
0   5
5   5   A->B
4   6
4   0   A->B
0   4
5   4   A->B
3   6

現在我們問，如果是多於2只壺的情況怎麼辦（這樣一來就不能用上面
的迴圈倒水法了）？如何在倒水之前就知道靠這些壺是一定能（或一
定不能）倒出若干升水來的？試舉數例：
1)兩個壺：65升和78升，倒38升和39升。
2)三個壺：6升，10升和45升，倒31升。

我們可以看到，在1)中，65=5*13，78=6*13，而39=3*13。所以如果把
13升水看作一個單位的話（原題中的“升”是沒有什麼重要意義的，
你可以把它換成任何容積單位，毫升，加侖——或者“13升”），這
題和最初的題目是一樣的。而38升呢？顯然是不可能的，它不是13的
倍數，而65升和78升的壺怎麼也只能倒出13升的倍數來。也可以這樣
理解：這相當於在原題中要求用5升和6升的壺倒出38/39升來。

那麼2)呢？你會發現，只用任何其中兩個壺是倒不出31升水的，理由
就是上面所說的，(6,10)=2，(6,45)=3，(10,45)=5，（這裡(a,b)是
a和b的最大公約數），而2，3，5均不整除31。可是用三個壺就可以倒
出31升：用10升壺四次，6升壺一次灌45升壺，得到1升水，然後灌滿
10升壺三次得30升水，加起來為31升。

一般地我們有“灌水定理”：

“如果有n個壺容積分別為A1，A2，……，An（Ai均為大於0的整數）
設w為另一大於0的整數。則用此n個壺可倒出w升水的充要條件為：
1)w小於等於A1+A2+……+An；
2)w可被(A1,A2,……,An)（這n個數的最大公約數）整除。”

這兩個條件都顯然是必要條件，如果1)不被滿足的話，你連放這麼多
水的地方都沒有。2)的道理和上面兩個壺的情況完全一樣，因為在任
何步驟中，任何壺中永遠只有(A1,A2,……,An)的倍數的水。

現在我們來看一下充分性。在中學裡我們學過，如果兩個整數a和b互
素的話，那麼存在兩個整數u和v，使得ua+vb=1。證明的方法很簡單：
在對a和b做歐幾里德輾轉相除時，所有中間的結果，包括最後得到的
結果顯然都有ua+vb的形式（比如第一步，假設a小於b，記a除b的結果
為s，餘數為t，即b=sa+t，則t=(-s)a+b，即u=-s，v=1）。而兩個數
互素意味著歐幾里德輾轉相除法的最後一步的結果是1，所以1也可以
記作ua+vb的形式。稍微推廣一點，如果(a,b)=c，那麼存在u和v使得
ua+vb=c（兩邊都除以c就回到原來的命題）。

再推廣一點，如果A1，A2，……，An是n個整數，(A1,A2,……,An)=s，
那麼存在整數U1，U2，……，Un，使得
   U1A1 + U2A2 + …… + UnAn = s.        (*)
在代數學上稱此結果為“整數環是主理想環”。這也不難證，只要看
到
(A1,A2,A3,A4,……,An)=((((A1,A2),A3),A4),……,An).
也就是說，可以反覆應用上一段中的公式：比如三個數a，b，c，它
們的最大公約數是d。假設(a,b)=e，那麼(e,c)=((a,b),c)=d。現在
有u1，u2使得u1a+u2b=e，又有v1，v2使得v1e+v2c=d，那麼
   (v1u1)a+(v1u2)b+(v2)c=d.

好，讓我們回頭看“灌水定理”。w是(A1,A2,……,An)的倍數，根據
上節的公式(*)，兩邊乘以這個倍數，我們就有整數V1，V2，……，Vn
使得
   V1A1 + V2A2 + …… + VnAn = w.
注意到Vi是有正有負的。

這就說明，只要分別把A1，A2，……，An壺，灌上V1，V2，……，Vn
次（如果Vi是負的話，“灌上Vi次”要理解成“倒空-Vi次”），就可
以得到w升水了。具體操作上，先求出各Vi，然後先往Vi是正數的壺裡
灌水，灌1次就把Vi減1。再把這些水到進Vi是負數的壺裡，等某個壺
灌滿了，就把它倒空，然後給這個負的Vi加1，壺之間倒來倒去不變更
各Vi的值。要注意的是要從池塘裡灌水，一定要用空壺灌，要倒進池
塘裡的水，一定要是整壺的。這樣一直到所有Vi都是0為止。

會不會發生卡住了，既不能灌水又不能倒掉的情況？不會的。如果有
Vi仍舊是負數，而Ai壺卻沒滿：那麼如果有其它Vi是正的壺裡有水的
話，就都倒給它；如果有其它Vi是正的壺裡沒水，那麼就拿那個壺打
水來灌（別忘了給打水的壺的Vi減1）；如果根本沒有任何Vi是正的壺
了——這是不可能的，這意味著w是負的。有Vi仍舊是正數，而Ai壺卻
沒滿的情況和這類似，你會發現你要用到定理中的條件1)。

這樣“灌水定理”徹底得證。當然，實際解題當中如果壺的數目和容
積都比較大的話，手工來找(*)中的各Ui比較困難，不過可以寫個程式，
連倒水的步驟都算出來。最後要指出的一點是，(*)中的Ui不是唯一的，
所以倒水的方式也不是唯一的。