1. 概述
研究了一些空間計算幾何的相關演算法，現在對《計算幾何》這門科學有了更多的認識。以前，解決空間幾何問題都是通過解析幾何的角度來解決問題的(高中數學知識)，雖然解決思路比較直觀，但是很多時候都要付出昂貴的代價，比如精度、效率，以及繁複的判斷。而計算幾何是通過向量來解決空間幾何問題的，可以規避這些問題，使得精度和效率更高。
2. 詳論
2.1. 解析幾何演算法
比如說，在平面中判斷兩線段相交，我們可以很容易通過解析幾何來求解，聯立兩直線的代數方程：
然後對這個二元二次方程進行求解。很容易得到相應演算法的程式碼：
//判斷兩線段相交
bool IsIntersect(double px1, double py1, double px2, double py2, double px3, double py3, double px4, double py4)
{
bool flag = false;
double d = (px2 - px1) * (py4 - py3) - (py2 - py1) * (px4 - px3);
if (d != 0)
{
double r = ((py1 - py3) * (px4 - px3) - (px1 - px3) * (py4 - py3)) / d;
double s = ((py1 - py3) * (px2 - px1) - (px1 - px3) * (py2 - py1)) / d;
if ((r >= 0) && (r <= 1) && (s >= 0) && (s <= 1))
{
flag = true;
}
}
return flag;
}
可以看出這個演算法其實並不嚴密，其實缺少了對一些極端條件的判斷，比如與座標軸平行的情況，兩直線平行的情況，還需要做額外的判斷。同時用了很多乘法和除法，演算法效率並不高。
2.2. 同側法
這種演算法的思想是：如果兩條線段相交，那麼一條線段的兩端點必然位於另一條線段的兩端點的異側。那麼問題就可以轉換成點是否在一條線段的同側。同側判斷可以通過向量叉乘的方法來實現，即判斷最後叉乘的方向是否相同。
這個演算法與平面中判斷點在三角形內演算法這篇文章介紹的同側/異側判斷是一樣的，我認為算是比較優秀快速的演算法了。不過這個演算法可以判斷定性判斷，無法定量判斷準確的交點。而且實際使用過程中，似乎精度不太準確（個人實驗結論，尤其是位於三角形邊上的點）。
2.3. 向量方程法
2.3.1. 原理
已知空間中線段的起點O和終點E，那麼顯然方向向量D為：
這時，可以確定線段上某一點P為：
其中，t為範圍滿足\(0<=t<=1\)的標量。
這個方程就是線段上某一點的向量方程。如果要求兩線段的交點，很顯然可以將兩個線段進行聯立：
上式-下式,有：
在平面上展開，也就是使用X和Y分量：
那麼這個問題就轉換成了求解2行2列的線性方程組，如果有解，說明存在交點並直接求出。2行2列線性方程組直接使用克萊姆法則求解即可。
2.3.2. 實現
具體的C++實現程式碼如下：
//空間直線
template <class T>
class LineSegment
{
public:
Vec3<T> startPoint;
Vec3<T> endPoint;
Vec3<T> direction;
Vec3<T> min;
Vec3<T> max;
LineSegment()
{
}
LineSegment(Vec3<T> start, Vec3<T> end)
{
startPoint = start;
endPoint = end;
direction = end - start;
CalMinMax();
}
inline void Set(Vec3<T> start, Vec3<T> end)
{
startPoint = start;
endPoint = end;
direction = end - start;
CalMinMax();
}
inline void CalMinMax()
{
min.x() = std::min<T>(startPoint.x(), endPoint.x());
min.y() = std::min<T>(startPoint.y(), endPoint.y());
min.z() = std::min<T>(startPoint.z(), endPoint.z());
max.x() = std::max<T>(startPoint.x(), endPoint.x());
max.y() = std::max<T>(startPoint.y(), endPoint.y());
max.z() = std::max<T>(startPoint.z(), endPoint.z());
}
//兩條線段相交
inline static bool Intersection2D(LineSegment & line1, LineSegment & line2, Vec3<T>& insPoint)
{
double D = -line1.direction.x() * line2.direction.y() + line1.direction.y() * line2.direction.x();
if(D == 0.0)
{
return false;
}
auto O12 = line2.startPoint - line1.startPoint;
T D1 = -O12.x() * line2.direction.y() + O12.y() * line2.direction.x();
T D2 = line1.direction.x() * O12.y() - line1.direction.y() * O12.x();
T t1 = D1 / D;
if(t1<0 || t1 > 1)
{
return false;
}
T t2 = D2 / D;
if(t2<0 || t2 > 1)
{
return false;
}
insPoint = line1.startPoint + line1.direction * t1; //這樣計算得到的Z值是不準確的
return true;
}
};
2.3.3. 三維展開
這個演算法還有一個好處是也很適合三維空間展開，因為線段上點的向量方程是二三維通用的。當使用X，Y，Z三個分量帶入式(1)，這時得到的就是一個3行2列的超定方程組。可以繼續求解原來的2行2列的線性方程組，只有當得到的t1，t2也能滿足Z方向上的式子成立，才能說明存在交點。