YC322A [ 20240724 CQYC NOIP 模擬賽 T3 ] 小 M 的字串(string）

cxqghzj發表於2024-07-24
字串

題意

給定一個 \(0/1\) 字串，你需要從中選出儘可能多的不相交的子串使得按順序字典序單調遞增。

\(n \le 25000\)。

Sol

先考慮能最多選出多少個不相交的子串，這個是 \(\frac{n}{\log n}\)，但是這個沒用。

考察一下子串的長度，由於字典序的限制，最劣的情況下就是一個子串比上一個子串正好多了一位。

所以子串的長度最大是 \(\sqrt{2n}\) 的，這個是有用的。

直接暴力排序很菜，是 \(O(n \times \sqrt{n} \times \sqrt{n} \log n)\) 的，等於沒這個性質。

想象一下可以想到直接扔到 \(\texttt{Trie}\) 上面插進去，然後 \(\texttt{dfs}\) 暴力跑一遍就可以保證字典序的單調遞增了。

然後接著整一個 \(\texttt{dp}\) 就完事了，發現這個玩意有個字首轉移很唐，考慮直接把下標當成子串的數量，這樣每次列舉到的子串 \([l, r]\) 就可以直接轉移最大的 \(dp_k < l\) 的位置，容易發現這就是對的，直接 \(\texttt{lower_bound}\) 就做完了。

時間複雜度 \(O(n \sqrt{n} \log n)\)。

Code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <array>
#include <vector>
#define pii pair <int, int>
using namespace std;
#ifdef ONLINE_JUDGE

// #define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
// char buf[1 << 23], *p1 = buf, *p2 = buf, ubuf[1 << 23], *u = ubuf;

#endif
int read() {
    int p = 0, flg = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {
        if (c == '-' )flg = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        p = p * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return p * flg;
}
void write(int x) {
    if (x < 0) {
        x = -x;
        putchar('-');
    }
    if (x > 9) {
        write(x / 10);
    }
    putchar(x % 10 + '0');
}
bool _stmer;

#define fi first
#define se second

const int N = 2.5e4 + 5, M = 405;

char strbuf[N];
string s;

array <array <int, 2>, N * M> nex;
array <vector <pii>, N * M> isl;

int cnt;

array <int, N> f;
int tot;

void dfs(int x) {
    sort(isl[x].begin(), isl[x].end(), greater <pii>());
    for (auto k : isl[x]) {
        int pos = lower_bound(f.begin(), f.begin() + 1 + tot, k.fi) - f.begin() - 1;
        f[pos + 1] = min(f[pos + 1], k.se);
        if (pos == tot) tot++;
    }
    if (nex[x][0]) dfs(nex[x][0]);
    if (nex[x][1]) dfs(nex[x][1]);
}

bool _edmer;
int main() {
    cerr << (&_stmer - &_edmer) / 1024.0 / 1024.0 << "MB\n";
#ifndef cxqghzj
    // freopen("string.in", "r", stdin);
    // freopen("string.out", "w", stdout);
#endif
    int n = read();
    scanf("%s", strbuf);
    s = strbuf, s = " " + s;
    f.fill(n + 1), f[0] = 0;
    int m = 405;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int p = 0;
        for (int j = i; j <= n && j - i + 1 <= m; j++) {
            if (!nex[p][s[j] - '0']) cnt++, nex[p][s[j] - '0'] = cnt;
            p = nex[p][s[j] - '0'];
            isl[p].push_back(make_pair(i, j));
        }
    }
    dfs(0);
    write(tot), puts("");
    return 0;
}

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