2024--夢熊&太戈--NOIP十三連測 #7【訂正】 - 比賽 - 夢熊聯盟 (mna.wang)
總結
T1 基本和 CF1245F 相同。很快就寫完了。
T2 題意特別難懂，模擬了很長時間後題意還是有些暈，就先放棄了。
T3 相較於 T2 看上去簡單的多，先衝 T3。
特殊性質 \(A\) 有 \(50\) 分，這可能是正解的關鍵。嘗試打表找規律無果。\(50\) 分實在是太多就意味著它和正解的難度是接近的。
這期間寫了 \(n \le 2\) 的，本來想拿 \(10\) 分，結果 \(30\) 分？？？？？？？
T4 看起來也可做，打了 \(n \le 500\) 的，這是一個預處理前字尾的簡單技巧。不知道 \(a_i \le 20\) 咋做。
給 T2 時間只有 20 分鐘，感覺 \(30\) 分寫不出來了，就沒寫。
總結：
- 你沒有做出 \(3\) 題或 \(4\) 題的實力。如果這兩道題中存在一個部分分的分值很大（比如 T3 的 \(50\) 分）就不要死磕這檔分。因為這實在太難。
- 如果一個題的題意很複雜，先寫根據題意寫一個暴力（比如 T2 的 \(30\) 分）。寫暴力的時候可以幫助你理解題意，而且寫完之後關掉題面，照著暴力程式碼思考最佳化，可能會更方便些。
- 非正解（部分分）的找規律時間不要太長。
A. pair
題意
求 \(\sum_{x=0}^N\sum_{y=0}^N [x\mid y = x \oplus y]\)。
\(N \le 2^{10^6}\)。
做法
注意到 \(x\mid y = x \oplus y\) 等價於 \(x \operatorname{and} y = 0\)。於是 CF1245F。
B. tree
不會。
C. mod
題意
給定長度為 \(n\) 的正整數序列 \(a\)，夢夢給出了以下函式：
void mod(int x){
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=a[i]%x;
}
你可以執行這個函式任意次，且每次呼叫函式的引數可以任意指定，但要求呼叫的引數 \(x\) 為正整數，請問最終可以得到多少種不同的 \(a\) 序列。模 \(998244353\)。
性質 \(A\) 思路
每次操作選擇的 \(x\) 一定越來越小。
對於初始的兩個相鄰的數 \(k,k+1\)，將它們模 \(x\) 後，它們要麼仍相差 \(1\)（即變成 \(k \bmod x, k \bmod x + 1\)），或變成 \(x-1,0\)。
若再模一個 \(y\)，有可能仍相差 \(1\)，有可能變成 \(k \bmod x \bmod y,0\)。
也就是說如果最終能得到序列 \(a\)，且最後一次操作的數是 \(x\)，等價於：
-
\(\forall 1 \le i \le n\)，\(0 \le a_i < x\)。
-
\(a_1=1,a_2=2,\dots,a_{x-1}=x-1,a_x = 0\)；
-
\(\forall x + 1 \le i \le n\)，\(a_i = 0\) 或 \(a_i = a_{i-1}+1\)。
列舉 \(x\)。然後 DP 即可。設 \(f(i, j)\) 表示考慮前 \(i\) 個位置且 \(a_i = j\) 的方案，轉移極易。
此時你發現輸出答案比標準答案少 \(1\)。這是因為你少考慮了一次操作都不進行的情況。
正解
不會。
D. divide
\(n \le 500\) 可以預處理前字尾的 DP 的答案。我的實現裡預處理 \(n^2\)，求答案 \(n^3\)。
\(a_i \le 20\) 直接最佳化上一個 DP。因為長度 \(\ge 20\) 的區間一定合法。程式碼不太好寫。
正解是神秘 cdq 最佳化 DP。不會。