夢熊 NOIP 十三連測模擬賽記錄

hhoppitree發表於2024-10-22

\(\text{By hhoppitree.}\)

\(\textbf{Round 1 A. Apair}\)

題目大意

給定平面直角座標系上的 \(n\) 個整點，求任意兩個不同的點的曼哈頓距離與歐幾里得距離的比的最大值，多組詢問。
資料範圍：\(T\le10,n\le10^5\)，\(\texttt{1s/512MB}\)。

思路分析

考慮我們就是要讓連線段的角度最接近 \(\dfrac{\pi}{4}\) 或 \(\dfrac{3\pi}{4}\)，將平面直角座標系旋轉對應角度後也就是要求連線段與 \(x\) 軸夾角最小的兩個點。

按旋轉後的 \(y\) 座標排序後，最優解一定可以在兩個點相鄰的時候取到，證明可以畫畫圖。

最終的時間複雜度為單組詢問 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。

程式碼呈現

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;
const long double pi = acos(-1.0);

int n;
pair<int, int> c[N];

int cmp1(pair<int, int> x, pair<int, int> y) {
    return x.first + x.second < y.first + y.second;
}

int cmp2(pair<int, int> x, pair<int, int> y) {
    return x.first - x.second < y.first - y.second;
}

long double calc() {
    long double res = 0;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int x = abs(c[i].first - c[i + 1].first), y = abs(c[i].second - c[i + 1].second);
        res = max(res, (x + y) / hypot((long double)x, (long double)y));
    }
    return res;
}

signed main() {
    freopen("Apair.in", "r", stdin);
    freopen("Apair.out", "w", stdout);
    int T; scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%d", &c[i].first, &c[i].second);
        sort(c + 1, c + n + 1, cmp1);
        long double res = calc();
        sort(c + 1, c + n + 1, cmp2);
        printf("%.20Lf\n", max(res, calc()));
    }
    return 0;
}

\(\textbf{Round 1 D. Dmagic}\)

題目大意

有兩個長度為 \(n\) 的陣列 \(a\) 和 \(b\)，初始時 \(a\) 給定，\(b\) 均為 \(0\)，每次可以選擇陣列 \(b\) 的字首或者是字尾加 \(1\)，花費為選中元素個數，求最少花費使得 \(b_i\) 均不小於 \(a_i\)，多組詢問。
資料範圍：\(T\le10,n\le10^5\)，\(\texttt{1s/512MB}\)。

思路分析

考慮最終花費即為 \(b\) 陣列元素之和。

也就是說，我們要找到一個“可生成的”序列 \(b\)，使得 \(b_i\ge a_i\)，且在此基礎上，\(\sum_{i=1}^{n}b_i\) 最小。

不妨將 \(b\) 數列從初始全為 \(0\) 增加視作是一次操作將前字尾減 \(1\)，求其是否能夠變成全 \(0\) 數列。

如何去刻畫一個序列“可被生成”呢？注意到，如果 \(b_i>b_{i+1}\)，那麼至少要對 \([1,i]\) 進行 \(b_i-b_{i+1}\) 次字首操作；反之，如果 \(b_i<b_{i+1}\)，那麼至少要對 \([i+1,n]\) 進行 \(b_{i+1}-b_i\) 次字尾操作。

在這些操作進行完後，必然有 \(b\) 中元素全相等，此時若有 \(b_i\ge 0\) 則序列 \(b\) 就是可以被生成的。

考慮用一個簡潔的式子去概括，不妨只考察 \(b_1\ge0\) 的限制，則有 \(b_1-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\max(b_i-b_{i+1},0)\ge0\)

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