大數運算—大數加法、減法、乘法、除法詳解

bigsai發表於2021-04-02

原創公眾號：bigsai
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前言

大家好，我是bigsai！最近，大數加減頻頻登上筆試的舞臺，小夥伴們在群裡也分享自己遇到面試官碰到大數運算的題目，想著這麼重要而簡單的知識點我還沒寫過，那得好好和大家一起總結一下。

各位有過分類刷題的小夥伴，可能看到很多人分類字串、貪心、動態規劃、bfs、dfs、大數、數論等，初聽大數，你可能會差異：大數是個啥？聽起來怪高大上的。

大數，其實就是很大很大數字(可能遠超32、64位，基礎型別無法表示)的加減法，在Java中我們可以使用一個大數類(BigInteger等)很容易解決大數的各種運算，但如果遇到面試官他肯定會讓你手寫的。

這個數字一般用字串、連結串列等形式表示、返回，大數運算的核心就是：模擬，模擬我們日常用紙筆算數字的加減乘除流程，然後再根據計算機、程式語言等特性適當儲存計算即可，不過，大數除法運算稍微特殊一點，和我們直接模擬的思維方式稍有不同。

大數加法

大數加法是最簡單的，簡單模擬即可。首先，我們想一下兩個數加法的流程：從右向左計算求和、進位，一直到最後。

在程式語言中同樣也是模擬從右向左逐位相加的過程，不過在具體實現上需要注意一些細節。

1、列舉字串將其轉換程char[]提高效率

2、從右往左進行計算，可以將結果放到一個陣列中最後組成字串，也可以使用StringBuider拼接，拼接的時候最後要逆置一下順序。

3、餘數每次疊加過需要清零，兩數相加如果大於等於10即有餘數，新增到結果中該位置的數也應該是該數%10的結果。

4、計算完最後還要看看餘數是否為1，如果為1需要將其新增到結果，例如 "991"+"11"算三個位置為002但還有一個餘數需要新增，所以應該是1002。

一個加法流程

當然在具體實現上方法較多，你可以首先就將字串逆置然後從前往後就可以計算了。當然我這裡實現的是字串從後向前各個位對應計算，然後將結果順序新增到StringBuilder上。

這題在力扣【415兩數相加】可以檢驗自己程式碼，實現程式碼為：

public String addStrings(String num1, String num2) {
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    int len1=num1.length()-1,len2=num2.length()-1;
    char ch1[]=num1.toCharArray();
    char ch2[]=num2.toCharArray();

    StringBuilder sb=new StringBuilder();
    int remainder =0;//計算餘數
    while (len1>=0||len2>=0)
    {
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;
        int num=n1+n2+remainder;//求和對應數字
        remainder=num/10;//是否進位
        sb.append(num%10);// 新增到結果字串中
    }

    if(remainder>0)//是否還需要進位
    {
        sb.append(remainder);
    }
    //反裝即為結果
    return sb.reverse().toString();
}

大數減法

加法對應的就是減法，有了上面大數加法的實現思路，那麼我想你在大數減法也應該有點想法，但是減法和加法不同的是減法有位置的區別，加法需要進位而減法需要借位。並且大整正數減法可能產生正負也不一定。

兩個正數，如果大數減去小數，那麼一切正常，結果是一個正數；但如果小數減去大數，那麼結果將是一個負數，並且結果處理起來比較麻煩。所以在這裡全部轉成大-小處理(大-小不存在不能借位的情況)。

減法轉成大-小

1、執行計算前首先比較減數(num1)和被減數(num2)的大小，如果num1>num2,那麼就模擬num1-num2的過程，如果num1<num2，那麼結果就為-(num2-num1) 。當然可以為了穩定模擬時候一個大一個小，可將num1始終指向較大的那個數，少寫一個if/else.

2、在比較兩個數字大小的時候，因為是字元形式，首先比較兩個字串的長度，長的那個更大短的那個更小，如果兩個字串等大，那麼就可以通過字典序從前往後進行比較(Java可直接使用compareTo方法)。

3、和加法不同的是，減法前面可能產生若干字首0，這些0是需要你去掉的，例如"1100"-"1000"計算得到的結果位"0100",你就要吧前面的0去掉返回"100"。

4、具體實現的時候和加法相似，如果使用StringBuilder儲存，需要逆置順序，如果是個負數，前面還要加上'-'.

5、每個位置正常進行減法運算，如果值小於0，那麼就需要向上借位(+10),那麼處理上一位進行減法時候還要將借位的處理一下。

一個減法大概流程

這題在力扣上沒有原題，但是可以在小米OJ【大數相減】上驗證自己程式碼的正確性，具體實現的程式碼為：

public static boolean compare(String num1,String num2)
{
    if(num1.length()<num2.length())
        return  false;
    else if(num1.length()>num2.length())
        return true;
    else
        return num1.compareTo(num2)>0;
}
public static  String subtractString(String num1,String num2) {
    char sign='+';//正負號
    //讓num1>num2 如果num1<num2 那麼結果就是—(num2-num1) 
    //可以先將num1和num2交換和前面情況統一
    if(!compare(num1,num2))
    {
        sign='-';
        String team = num2;
        num2 = num1;
        num1 = team;
    }
    int len1=num1.length()-1;
    int len2=num2.length()-1;

    char ch1[] = num1.toCharArray();
    char ch2[] = num2.toCharArray();
    StringBuilder sb=new StringBuilder();
    int borrow=0;//借位
    while (len1>=0||len2>=0)
    {
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;

        int num=n1-n2-borrow;
        borrow=0;
        if(num<0)//需要向前借位
        {
            borrow=1;
            num+=10;
        }
        sb.append(num);
    }

    sb=sb.reverse();//需要先翻轉
    int index = 0;//去掉前面沒用的’0‘
    while (index<sb.length()&&sb.charAt(index) == '0')
    {
        index++;
    }
    //如果兩個數相同 直接返回"0"
    if(index==sb.length())
        return "0";
    if(sign=='+')//如果正數 
        return  sb.substring(index);
    else  return sign+sb.substring(index);//負數需要返回
}

大數乘法

大數乘法乍一想可能比較複雜，因為乘法比起加法可能進位不光是1，還有兩個數各種位置都需要相乘計算，這時候就需要我們化繁為簡了。

多*多考慮起來可能有些麻煩，但是如果多*一考慮起來呢？如果是多位乘以一位數，那麼就拿一位的分別乘以多位數的個位、十位、百位，在計算的同時考慮一下進位的情況。

但是也可以先直接用int型別陣列儲存各位的乘積然後從右向左進行進位，如下圖所示。

先計算後進位

而多*多 也是這個道理，將不同位乘積先疊加到對應位置上，然後從右向左進位，一直到不需要進位為止。

一個乘法流程

你可能會疑問，如果兩個陣列的長度分別為a和b這個陣列到底該開多大呢？

a+b大小就夠了，怎麼分析呢？其中一個a不變。另一個b變成最小b+1數字即十的倍數，那麼這樣在相乘的時候也不過是a+b長度，所以這裡a+b長度就夠了。

這題有力扣對應題可以去試試【43字串相乘】，具體程式碼位：

public String multiply(String num1, String num2) {
    if("0".equals(num1)||"0".equals(num2))return "0";
    char a[]=num1.toCharArray();
    char b[]=num2.toCharArray();
    
    int value[]=new int[a.length+b.length];
    
    for(int i=a.length-1;i>=0;i--)
    {
        for(int j=b.length-1;j>=0;j--)
        {
            int index=a.length-1-i+b.length-1-j;
            value[index]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0');
        }
    }
    for(int i=0;i<value.length-1;i++)
    {
        value[i+1]+=value[i]/10;
        value[i]=value[i]%10;
    }
    int index=value.length-1;
    while(value[index]==0)
    {index--;}
    StringBuilder sBuilder=new StringBuilder();
    while (index>=0) {
        sBuilder.append(value[index--]);
    }
    return sBuilder.toString();
}

大數除法

大數加減乘都搞定了，通過模擬來實現，但是大數除法也通過模擬來實現？

並不是，對於大數a/b，一般最多要求求到其整數解或者餘數，即a/b=c……d（a,b,c,d均為整）;也就是a裡面有c個b，並且還剩下d。核心是先求c是多少，對於程式來說，可以通過列舉啊，將除法變成減法，從a中不斷減d，一直到不能減為止。

除法轉成減法運算

但是有個問題，如果被除數a很大很大，可能有居多個b，那麼這樣時間複雜度太高了，不可能執行那麼多次，那麼需要怎麼樣去優化這個方法呢？

那就要加速尋找次數，減少這個減法的次數了，減法次數減小的一個最好方案就是能不能擴大除數b。如果b後面加個'0'，那麼算出來的結果就乘以10，減法的次數變成原來十分之一。根據這個思想我們可以一直每次找到b的最大10的倍數(小於a)計算減的次數再換算成減b的總詞數，將結果要以字串方式保留，後面一直迭代到最後為止,這雖然是一道除法運算的題，但是也蘊涵減法和加法(次數疊加到結果中)。

優化思想