影像匹配 | NCC 歸一化互相關損失 | 程式碼 + 講解

忽逢桃林發表於2021-03-16
  • 文章轉載自：微信公眾號「機器學習煉丹術」
  • 作者：煉丹兄（已授權）
  • 作者聯絡方式：微信cyx645016617（歡迎交流共同進步）

本次的內容主要講解NCCNormalized cross-correlation 歸一化互相關。

兩張圖片是否是同一個內容，現在深度學習的方案自然是用神經網路，比方說：孿生網路的架構做人面識別等等；

在傳統的非引數方法中，常見的也有相關係數等。我在上一片文章voxelmorph的模型的學習中發現，在醫學影像配準任務（不限於醫學），衡量兩個圖片相似的度量有一種叫做NCC的

而這個NCC就是Normalized Cross-Correlation歸一化互相關係數。

1 互相關係數

如果你知道互相關係數，那麼你就能很好的理解歸一化互相關係數。

相關係數的計算公式如下：

\[r(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} \]

公式中的X，Y分別表示兩個圖片，\(Cov(X,Y)\)表示兩個圖片的協方差，\(Var(X)\)表示X自身的方差；

2 歸一化互相關NCC

如果把一張圖片，按照一定的畫素，比方說9x9的一個框滑動，那麼就可以把圖片分成很多的9x9的小圖片，那麼NCC就是X，Y兩張大圖片中的對應的小圖片的互相關係數的平均值。

這裡看一下協方差的計算方式：
\(Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)

方差的計算為：
\(Var(X) = E[(X-E(X))^2]\)

其實NCC不難理解，但是如何用程式碼計算呢？當然我們可以一行一行遍歷求解，但是這樣時間複雜度過高，所以我們做好還是選擇矩陣運算。

3 NCC損失函式的程式碼

class NCC:
    """
    Local (over window) normalized cross correlation loss.
    """

    def __init__(self, win=None):
        self.win = win

    def loss(self, y_true, y_pred):

        I = y_true
        J = y_pred

        # get dimension of volume
        # assumes I, J are sized [batch_size, *vol_shape, nb_feats]
        ndims = len(list(I.size())) - 2
        assert ndims in [1, 2, 3], "volumes should be 1 to 3 dimensions. found: %d" % ndims

        # set window size
        win = [9] * ndims if self.win is None else self.win

        # compute filters
        sum_filt = torch.ones([1, 1, *win]).to("cuda")

        pad_no = math.floor(win[0]/2)

        if ndims == 1:
            stride = (1)
            padding = (pad_no)
        elif ndims == 2:
            stride = (1,1)
            padding = (pad_no, pad_no)
        else:
            stride = (1,1,1)
            padding = (pad_no, pad_no, pad_no)

        # get convolution function
        conv_fn = getattr(F, 'conv%dd' % ndims)

        # compute CC squares
        I2 = I * I
        J2 = J * J
        IJ = I * J

        I_sum = conv_fn(I, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        J_sum = conv_fn(J, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        I2_sum = conv_fn(I2, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        J2_sum = conv_fn(J2, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        IJ_sum = conv_fn(IJ, sum_filt, stride=stride, padding=padding)

        win_size = np.prod(win)
        u_I = I_sum / win_size
        u_J = J_sum / win_size

        cross = IJ_sum - u_J * I_sum - u_I * J_sum + u_I * u_J * win_size
        I_var = I2_sum - 2 * u_I * I_sum + u_I * u_I * win_size
        J_var = J2_sum - 2 * u_J * J_sum + u_J * u_J * win_size

        cc = cross * cross / (I_var * J_var + 1e-5)

        return -torch.mean(cc)

這段程式碼其實不是很好看懂，我思考了很久才明白。其中的關鍵就在於如何理解:

# compute CC squares
        I2 = I * I
        J2 = J * J
        IJ = I * J

        I_sum = conv_fn(I, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        J_sum = conv_fn(J, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        I2_sum = conv_fn(I2, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        J2_sum = conv_fn(J2, sum_filt, stride=stride, padding=padding)
        IJ_sum = conv_fn(IJ, sum_filt, stride=stride, padding=padding)

        win_size = np.prod(win)
        u_I = I_sum / win_size
        u_J = J_sum / win_size

        cross = IJ_sum - u_J * I_sum - u_I * J_sum + u_I * u_J * win_size
        I_var = I2_sum - 2 * u_I * I_sum + u_I * u_I * win_size
        J_var = J2_sum - 2 * u_J * J_sum + u_J * u_J * win_size

我們可以才到，這個cross應該是協方差部分，I_var和J_var是方差部分。

我們對協方差公式進行推導：\(Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)
\(=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]\)

這樣剛好和cross對應上。

  • IJ_sum = E[XY]
  • u_J * I_sum = E[XE(Y)]
  • u_I * u_J * win_size = E[E(X)E(Y)]

對方差公式進行推導：\(Var(X) = E[(X-E(X))^2]=E[X^2-2XE(X)+E(X)^2]\)

  • J2_sum = E(X^2)
  • 2 * u_J * J_sum = E[2XE(X)]
  • u_J * u_J * win_size = E[E(X)^2]

相關文章