合成運算

一個重要的模糊關係運算元為composition，用在關係與關係(relation-relation)的合成或者集合與關係(set-relation)的合成.
最大-最小合成(max-min operation)最為常用.
如果$P$和$Q$分別為定義於$X\times Y$以及$Y\times Z$上的兩個確定關係，由合成運算，將$P$以及$Q$轉換為定義在$X\times Z$上的關係$R$.
R ( X × Z ) = P ( X × Y ) ∘ Q ( Y × Z ) = { ( x , z ) ∣ ∃ ( x , y ) ∈ P , ( y , z ) ∈ Q } \begin{aligned} &R(X\times Z)\\ &=P(X\times Y)\circ Q(Y\times Z)\\ &=\{(x, z)\mid \exist (x, y)\in P, (y, z)\in Q \} \end{aligned} ​R(X×Z)=P(X×Y)∘Q(Y×Z)={(x,z)∣∃(x,y)∈P,(y,z)∈Q}​
max-min合成運運算元為
$$\begin{array}{rl}{\mu }_R(x,z)& ={\vee }_{y\in Y}({\mu }_P(x,y)\wedge {\mu }_Q(y,z))\\ & =\underset{y\in Y}{\max }[\min ({\mu }_P(x,y),{\mu }_Q(y,z))]\end{array}$$

模糊規則

語義式變數組成元素有5個$(x,T(x),U,G,M)$.
-$x$ 是變數的名稱

• $T(x)$是$x$的措詞集(term set)，即形容$x$的語義子句所構成的集合
• $U$是變數$x$的語義值(linguistic value)
• $G$是產生$x$的語義值的句法規則(syntactic rule)
• $M$是將$x$的語義值與其先關意義結合的語義規則(semantic rule)

Mamdani Implication: ${\mu }_{R_M}(x,y)=\min [{\mu }_A(x),{\mu }_B(y)]$
Product Implication: ${\mu }_{R_p}(x,y)={\mu }_A(x){\mu }_B(y)$

去模糊化

將經過模糊推理後產生的結論轉為明確數值的的過程稱為去模糊化

重心法(center of gravity defuzzifier or center of area defuzzifier)

當論域為連續
$$y^{\ast }=\frac{{\int }_Y{\mu }_C(y)ydy}{{\int }_Y{\mu }_C(y)dy}$$
當論域為離散
$$y^{\ast }=\frac{{\sum }_{i=1}^L{\mu }_C(y_i)y_i}{{\sum }_{i=1}^L{\mu }_C(y_i)}$$

最大平均法(mean of maximal defuzzifier)

$$y^{\ast }=\frac{1}{N}\sum _{j=1}^N{y}_j$$

修正型最大平均法(modified mean of maximal defuzzifier)

$$y^{\ast }=\frac{{\max }_j{y}_j+{\min }_j{y}_j}{2}$$

中心平均法(modified center average defuzzifier)

$$y^{\ast }=\frac{{\sum }_{j=1}^J{\bar{y}}^j{\mu }_{C^j}({\bar{y}}^j)}{{\sum }_{j=1}^J{\mu }_{C^j}({\bar{y}}^j)}$$