機器什麼時候能夠學習？

本系列是臺灣大學資訊工程系林軒田（Hsuan-Tien Lin）教授開設的《機器學習基石》課程的梳理。重在梳理，而非詳細的筆記，因此可能會略去一些細節。

該課程共16講，分為4個部分：

1. 機器什麼時候能夠學習？（When Can Machines Learn？）
2. 機器為什麼能夠學習？（Why Can Machines Learn？）
3. 機器怎樣學習？（How Can Machines Learn？）
4. 機器怎樣可以學得更好？（How Can Machines Learn Better？）

本文是第1部分，對應原課程中的1-3講。雖然第4講在原課程中也放入了第1部分，但我認為它與後面第2部分的連貫性更強，因此移到後面。

本部分的主要內容：

• 介紹機器學習的概念與流程，並將它和其他幾個相似的領域進行比較；
• 介紹感知機模型，說明普通的感知機學習演算法PLA在什麼條件下可以停下，如果不滿足條件該怎麼辦；
• 列舉機器學習的類別。

1 機器學習的概念

1.1 定義

機器學習的定義：improving some performance measure with experience computed from data。

什麼時候可以用機器學習？有幾個關鍵的地方：

• 確實存在一些需要學習的“潛在模式”，如預測下一次丟骰子的點數，就不能用機器學習；
• 沒有簡單的可程式設計的定義，如判斷一張影像中是否包含了圓，就可以直接通過程式設計解決，不需要使用機器學習；
• 有一些關於要學習的模式的資料，如預測未來核能的濫用是否會導致地球毀滅，就不能用機器學習，因為沒有歷史資料。

1.2 組成部分

機器學習的實用定義如下圖（灰字是以信用卡審批為例）：

可以看到，機器學習有以下幾個要素：

• 未知的目標函式\(f: \mathcal X\rightarrow\mathcal{Y}\)，在例中為理想的信用卡審批規則；
• 訓練樣本\(\mathcal{D}\)，在例中為銀行中信用卡審批的歷史記錄；
• 假設集\(\mathcal{H}\)，在例中為一系列的候選規則；
• 學習演算法\(\mathcal{A}\)；
• 最終挑選出的假設\(g\)，滿足\(g\approx f\)，在例中為最終“學習”出的規則。

機器學習的實用定義：使用資料計算出最接近於目標函式\(f\)的假設\(g\)。

1.3 和其他領域的關係

1.3.1 資料探勘（DM）

資料探勘：用（大）資料尋找感興趣的性質。

• 如果這裡所說的“感興趣的性質”就是“接近目標函式的假設”，那麼機器學習就等同於資料探勘；
• 如果“感興趣的性質”與“接近目標函式的假設”是相關的，那麼資料探勘可用來幫助機器學習，反之亦然；
• 傳統的資料探勘還關注在大資料庫中的有效計算。

在現實中，很難區分ML和DM。

1.3.2 人工智慧（AI）

人工智慧：計算一些的有智慧行為的東西。

如果\(g\approx f\)就是那個有智慧行為的東西，那麼ML可用於實現AI。

如下棋，傳統AI的做法是做博弈樹，而ML的做法是從大量資料中進行學習。因此，機器學習是實現人工智慧的一種途徑。

1.3.3 統計學（Statistics）

統計學：使用資料對未知過程進行推斷。

• 如果推斷的結果就是\(g\)，\(f\)是未知的，那麼統計學就可以就用來實現機器學習；
• 傳統的統計學聚焦於在數學假設下可證明的結果，而不太關注計算。

統計學為機器學習提供了很多有用的工具。

2 分類學習之感知機模型

2.1 PLA

這裡介紹一個簡單的分類模型：感知機（Perceptron）。

回顧上一節，在假設集\(\mathcal{H}\)中，我們可以使用哪些假設？

在分類問題中，要預測的變數是正/負，或表示成\(+1\)/\(-1\)。我們可以對自變數做線性加權求和，然後設定一個閾值，若高於閾值，則分類為正，若低於閾值，則分類為負。若將“閾值”也看作在自變數中補入的常數項（\(\mathbb{w}\)中補入對應的常數1），則這個模型可以寫作\(h(x)=\text{sign}(\mathbf{w}^T\mathbf{x})\)。

每一個\(\mathbb{w}\)，都對應了一個假設。

那麼，要如何從假設集\(\mathcal{H}\)中找出最接近於目標函式的\(g\)呢？也就是如何找出最好的\(\mathbb{w}\)？

可以這樣做，先任意設一個初始的\(\mathbf{w}_0\)（比如\(\mathbf{0}\)），然後：

1. 從該點開始，尋找錯誤分類的樣本點，即找到滿足\(\text{sign}(\mathbf{w}^T_t \mathbf{x}_{n(t)})\ne y_{n(t)}\)的點\((\mathbf{x}_{n(t)}, y_{n(t)})\)；
2. 利用找到的錯誤分類點對\(\mathbf{w}\)進行更新，更新規則是：\(\mathbf{w}_{t+1}\leftarrow\mathbf{w}_t +y_{n(t)}\mathbf{x}_{n(t)}\)。
3. 不斷重複上述過程，直到找不出錯誤分類的點為止，最終得到要找的\(\mathbf{w}_{PLA}\)，把它作為\(g\)。

這就是感知機學習演算法PLA（Perceptron Learning Algorithm）。更新規則的圖示如下：

但是，以上演算法仍然有不少問題：

• 該如何遍歷所有的樣本點？
• 它最終會停下來嗎？需要滿足什麼條件？
• 停下來說明在樣本\(\mathcal{D}\)內已經沒有錯誤了，\(g\approx f\)，那麼在樣本\(\mathcal{D}\)外有用嗎？
• 如果不滿足使它能停下的條件怎麼辦？

2.2 PLA會停下嗎？

PLA能停下來的必要條件是，存在一些\(\mathbf{w}\)可以在\(\mathcal{D}\)內不會犯錯。這叫線性可分（linear separable）條件。那麼，線性可分是PLA能停下來的充分條件嗎？

答案是肯定的。證明的思路是，既然資料集線性可分，則一定存在某個\(\mathbf{w}\)將樣本完美分開，記為\(\mathbf{w}_f\)，只需證明在經過有限次的迭代後的\(\mathbf{w}\)和\(\mathbf{w}_f\)的夾角的餘弦的下限會超過1即可（因為餘弦無法超過1，如果在經過特定次數的迭代後餘弦的下限超過了1，說明在上一次迭代之後必定已經完成了完美的分類，無法找出錯誤分類的點進行迭代了），而餘弦可以從分子（兩個向量的內積）和分母（兩個向量模的乘積）分別突破。具體證明如下：

因為\(\mathbf{w}_f\)能完美分開資料集中的樣本，即滿足

\[y_{n(t)}\mathbf{w}_f^T \mathbf{x}_{n(t)}\ge \min_n y_n \mathbf{w}_f^T \mathbf{x}_n \gt 0 \]

可令\(\min_\limits{n} y_n \dfrac{\mathbf{w}_f^T}{\Vert \mathbf{w}_f\Vert} \mathbf{x}_n=\rho\)，則有

\[\begin{aligned} \mathbf{w}_f^T\mathbf{w}_t &= \mathbf{w}_f^T(\mathbf{w}_{t-1}+y_{n(t-1)}\mathbf{x}_{n(t-1)})\\ &\ge \mathbf{w}_f^T\mathbf{w}_{t-1}+\rho\Vert\mathbf{w}_f\Vert\\ &\ge t\rho\Vert\mathbf{w}_f\Vert \end{aligned}\]

而更新一定是在犯錯的點處，所以觸發第t次更新的樣本一定滿足\(y_{n(t-1)}\mathbf{w}^T_{t-1} \mathbf{x}_{n(t-1)}\le 0\)。令\(R^2=\max_\limits{n} \Vert x_n\Vert^2\)（\(R>0\)），則有

\[\begin{aligned} \Vert\mathbf{w}_t\Vert^2 &= \Vert\mathbf{w}_{t-1}+y_{n(t-1)}\mathbf{x}_{n(t-1)}\Vert^2\\ &= \Vert\mathbf{w}_{t-1}\Vert^2+2y_{n(t-1)}\mathbf{w}^T_{t-1} \mathbf{x}_{n(t-1)}+\Vert\mathbf{x}_{n(t-1)}\Vert^2\\ &\le \Vert\mathbf{w}_{t-1}\Vert^2+\Vert\mathbf{x}_{n(t-1)}\Vert^2\\ &\le \Vert\mathbf{w}_{t-1}\Vert^2 + R^2\\ &\le t R^2 \end{aligned}\]

接下來就看一看在經過\(T\)次迭代後得到的\(\mathbf{w}_{T}\)，它和\(\mathbf{w}_f\)的夾角的餘弦：

\[\begin{aligned} &\dfrac{\mathbf{w}_f^T\mathbf{w}_{T}}{\Vert\mathbf{w}_f\Vert\Vert\mathbf{w}_{T}\Vert} \ge \dfrac{T\rho\Vert\mathbf{w}_f\Vert}{\Vert\mathbf{w}_f\Vert \sqrt{T R^2}}=\sqrt{T}\dfrac{\rho}{R} \end{aligned}\]

而餘弦必定小於1，因此必有迭代次數\(T\le \dfrac{R^2}{\rho^2}\)，證明完畢。

從直覺上理解，PLA演算法通過不斷迭代，可以使得\(\mathbf{w}\)越來越接近於\(\mathbf{w}_f\)。

PLA演算法的優點是簡單、快、對任意維度的資料都可用，但缺點在於，一方面我們假設了資料集\(\mathcal{D}\)是線性可分的，而現實中我們不知道是否真的如此，另一方面我們不知道它到底多久會停下，儘管在實踐中演算法往往很快停下。

2.3 Pocket演算法

如果資料中有噪聲，導致資料集不是線性可分的，怎麼辦？

當然，可以直接取\(\mathop{\arg\min}\limits_{w}\sum\limits_{n=1}^{N}{\mathbf{1}_{[y_n\ne \text{sign}(\mathbf{w}^T\mathbf{x}_n)]}}\)作為\(\mathbf{w}_g\)，但由於要一一遍歷所有樣本，這是個NP-hard問題。

那怎麼辦呢？可以對PLA做一些修改：

• 把當下找到的最佳\(\hat{\mathbf{w}}\)先存起來，就好比放在口袋裡；
• 在找到一個使\(\mathbf{w}_t\)分類錯誤的樣本之後，進行和PLA一樣的更新，即\(\mathbf{w}_{t+1}\leftarrow\mathbf{w}_t +y_{n(t)}\mathbf{x}_{n(t)}\)；
• 比較\(\mathbf{w}_{t+1}\)和\(\hat{\mathbf{w}}\)在整個資料集上誰犯的錯誤較少，若前者少，則將前者放入口袋，反之仍保留\(\hat{\mathbf{w}}\)在口袋中；
• 不斷迴圈，在經過一定次數的迭代後，停止上述過程，最終在口袋中的\(\hat{\mathbf{w}}\)就取為\(g\)。

由於始終有一個\(\hat{\mathbf{w}}\)在口袋中，因此這種演算法被稱為Pocket演算法。

3. 學習的分類

依據輸出空間\(\mathcal{Y}\)的不同來分：

• 二分類問題：\(\mathcal{Y}\)為\(+1\)或\(-1\)；
• 多分類問題：\(\mathcal{Y}\)有更多的類別；
• 迴歸：\(\mathcal{Y}=\mathbb{R}\)或\(\mathcal{Y}=[\text{lower}, \text{upper}]\subset\mathbb{R}\)；
• 結構學習（Structured Learning）：\(\mathcal{Y}\)是某種結構，如學習出句子的結構等。

依據資料標籤\(y_n\)的不同來分：

• 監督（Supervised）學習：每個\(\mathbf{x}_n\)都有對應的\(y_n\)；
• 無監督（Unsupervised）學習，沒有標籤\(y_n\)，如聚類、密度估計、離群點檢測等；
• 半監督（Semi-supervised）學習：只有一小部分資料有標籤，需要充分利用無標籤資料，避免代價昂貴的手動打標籤；
• 強化學習（Reinforcement Learning）：\(y_n\)被隱含在goodness\((\tilde{y}_n)\)中。

依據\(f\Rightarrow (\mathbf{x}_n, y_n)\)的不同來分：

• Batch：所有的資料都是已知的；
• Online：被動獲取的序列資料；
• Active Learning：通過策略不斷主動詢問某個\(\mathbf{x}_n\)的\(y_n\)是什麼，來獲得序列資料。

依據輸入空間\(\mathcal{X}\)的不同來分：

• 具體的（Concrete）特徵：\(\mathcal{X}\subseteq \mathbb{R}^d\)的每個維度都有複雜的物理意義。
• 原始的（Raw）特徵：只有簡單的物理意義，如手寫數字識別，特徵是每個畫素點的灰度，往往需要人或機器將它轉換為具體的特徵。
• 抽象的特徵：沒有或幾乎沒有物理意義，如打分預測系統，\(\mathcal{X}\)是使用者id，\(\mathcal{Y}\)是對某部電影的評分，也需要做特徵轉換/抽取/構造。