首先我們來考慮給定一個序列，如何計算最小的權值。
不妨將其差分來看，每次操作相當於向左向右找到第一個位置滿足差分值 \(>0\)，然後將這兩個位置分別 \(-1\)。
記三元組 \((l_i,x_i,r_i)\) 表示在 \(x\) 操作一次，左邊在第 \(l_i\) 個差分值位置處減了 \(1\)，右邊在第 \(r_i\) 個差分值位置處減了 \(1\)。
如果對於兩對三元組 \((l_1,x_1,r_1),(l_2,x_2,r_2)\)，滿足 \(x_1<l_2<r_1<x_2\)，這是不可能的，因為假設第一個三元組先操作，那麼 \(l_2\) 處肯定已經沒有值了所以才會跳過。而如果第二個三元組先操作，則 \(r_1\) 處也沒有值了。同理不能有 \(l_1<l_2<x_1<x_2\)，因此，任意兩個三元組對應的區間 \([l_i,r_i]\) 只能是相離或者包含。
如果一個三元組的區間包含了另一個三元組的區間，那麼被小的三元組就要早於大的三元組操作，這顯然是一個 DAG。因此只要我們確定了一些三元組滿足不交或者包含，那麼就是合法的。
然後就可以看出，三元組的兩邊是獨立的，也即 \(l_i\) 和 \(r_i\) 沒有關係，只需要分別滿足 \(\leq x\) 和 \(\geq x\) 即可。
這變成一個匹配問題，容易得到一個貪心：從左到右對於每個差分值，先找 \(\leq x\) 能填的填進去，然後找 \(\geq x\) 能填的填進去即可。
然後可以 DP 了，設 \(f_{i,j,k}\) 表示到了第 \(i\) 個數，選了 \(j\)，差分值總和是 \(k\)。若 \(k<i\)，則說明前面有值沒有用到，補齊成 \(i\)。若 \(k>n+i-1\)，說明空位太多了，則 \(k-(n+i-1)\) 就會被計入答案。這個 DP 容易字首和最佳化到 \(O(n|S|(n+|S|))\)。
submission