題面傳送門
我感覺這個題很牛逼！提供了一種全新的視角！
首先考慮這個平面圖怎麼用。因為平面圖的邊數滿足 \(m\leq 3n-6\)，所以一個平面圖一定存在一個點度數 \(\leq 5\)。我們每次刪掉這樣的一個點，並刪掉所有以這個點為端點的邊，則剩下的圖還是一個平面圖，這樣不斷刪除下去就可以得到每個點的刪除時間，記作 \(p_i\)。對於每條邊，我們讓這條邊從刪除時間小的點指向刪除時間大的點，則每個點至多有 \(5\) 條出邊。
我們先考慮如何計算兩個點之間不超過 \(2\) 步的答案，不妨將兩個點記作 \(1,3\)，中間點記作 \(2\)。對路徑的形態分類討論：
- 形如 \(1\to 2\leftarrow 3\)：列舉 \(1,3\) 的出邊，找到共同的點。這樣只需要至多列舉 \(25\) 次。
- 形如 \(1\to 2\to 3\) 或 \(1\leftarrow2\leftarrow3\)：列舉一個端點的出邊以及出邊指向的點的出邊，這樣也只需要列舉 \(25\) 次。
- 形如 \(1\leftarrow 2\to 3\)：列舉 \(1\)，列舉一條入邊，再列舉入邊的端點的出邊。這樣總共需要列舉 \(5m\) 次。
然後考慮如何處理不超過 \(3\) 步，將兩個點記作 \(1,4\)，中間兩個點記作 \(2,3\)。
- 如果形如 \(1\to 2\)，則列舉 \(1\) 的出邊轉化成 \(5\) 個距離為 \(2\) 的問題。對於 \(4\to 3\) 同理。
- 如果形如 \(1\leftarrow2 \to3\to 4\)，列舉 \(1\)，列舉一條入邊，再列舉兩次出邊。對於 \(1\leftarrow2 \leftarrow 3\to 4\) 同理。
因此，我們以 \(O(n+m)\) 的複雜度解決了，常數不用管
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