一、二叉查詢樹
（1）二叉樹簡介： 二叉查詢樹也稱為有序二叉查詢樹，滿足二叉查詢樹的一般性質，是指一棵空樹具有如下性質：
1、任意節點左子樹不為空,則左子樹的值均小於根節點的值；
2、任意節點右子樹不為空,則右子樹的值均大於於根節點的值；
3、任意節點的左右子樹也分別是二叉查詢樹；
4、沒有鍵值相等的節點；
上圖為一個普通的二叉查詢樹，按照中序遍歷的方式可以從小到大的順序排序輸出：2、3、5、6、7、8。
對上述二叉樹進行查詢，如查鍵值為5的記錄，先找到根，其鍵值是6，6大於5，因此查詢6的左子樹，找到3；而5大於3，再找其右子樹；一共找了3次。如果按2、3、5、6、7、8的順序來找同樣需求3次。用同樣的方法在查詢鍵值為8的這個記錄，這次用了3次查詢，而順序查詢需要6次。計算平均查詢次數得：順序查詢的平均查詢次數為（1+2+3+4+5+6）/ 6 = 3.3次，二叉查詢樹的平均查詢次數為（3+3+3+2+2+1）/6=2.3
（2）侷限性及應用
一個二叉查詢樹是由n個節點隨機構成，所以，對於某些情況，二叉查詢樹會退化成一個有n個節點的線性連結串列。如下圖：
如上圖，如果我們的根節點選擇是最小或者最大的數，那麼二叉查詢樹就完全退化成了線性結構。上圖中的平均查詢次數為（1+2+3+4+5+5）/6=3.16次，和順序查詢差不多。顯然這個二叉樹的查詢效率就很低，因此若想最大效能的構造一個二叉查詢樹，需要這個二叉樹是平衡的、從而引出了一個新的定義-平衡二叉樹AVL
二、AVL樹
（1）簡介
AVL樹是帶有平衡條件的二叉查詢樹，一般是用平衡因子差值判斷是否平衡並通過旋轉來實現平衡，左右子樹樹高不超過1，和紅黑樹相比，它是嚴格的平衡二叉樹，平衡條件必須滿足（所有節點的左右子樹高度差不超過1）。不管我們是執行插入還是刪除操作，只要不滿足上面的條件，就要通過旋轉來保持平衡，而旋轉是非常耗時的，由此我們可以知道AVL樹適合用於插入刪除次數比較少，查詢多的情況。
從上面是一個普通的平衡二叉樹，這張圖我們可以看出，任意節點的左右子樹的平衡因子差值都不會大於1。
（2）侷限性
由於維護這種高度平衡所付出的代價比從中獲得的效率收益還大，故而實際的應用不多，更多的地方是用追求區域性而不是非常嚴格整體平衡的紅黑樹。當然，如果應用場景中對插入刪除不頻繁，只是對查詢要求較高，那麼AVL還是較優於紅黑樹。
三、紅黑樹
（1）簡介
一種二叉查詢樹，但在每個節點增加一個儲存位表示節點的顏色，可以是red或black。通過對任何一條從根到葉子的路徑上各個節點著色的方式的限制，紅黑樹確保沒有一條路徑會比其它路徑長出兩倍。它是一種弱平衡二叉樹(由於是弱平衡，可以推出，相同的節點情況下，AVL樹的高度低於紅黑樹)，相對於要求嚴格的AVL樹來說，它的旋轉次數變少，所以對於搜尋、插入、刪除操作多的情況下，我們就用紅黑樹
（2）性質
1、每個節點非紅即黑；
2、根節點是黑的；
3、每個葉節點(葉節點即樹尾端NULL指標或NULL節點)都是黑的；
4、如果一個節點是紅的,那麼它的兩兒子都是黑的；
5、對於任意節點而言，其到葉子點樹NULL指標的每條路徑都包含相同數目的黑節點；
6、每條路徑都包含相同的黑節點；
（3）應用
1、廣泛用於C++的STL中，Map和Set都是用紅黑樹實現的；
2、著名的Linux程式排程Completely Fair Scheduler，用紅黑樹管理程式控制塊，程式的虛擬記憶體區域都儲存在一顆紅黑樹上，每個虛擬地址區域都對應紅黑樹的一個節點，左指標指向相鄰的地址虛擬儲存區域，右指標指向相鄰的高地址虛擬地址空間；
3、IO多路複用epoll的實現採用紅黑樹組織管理sockfd，以支援快速的增刪改查；
4、Nginx中用紅黑樹管理timer，因為紅黑樹是有序的，可以很快的得到距離當前最小的定時器；
5、Java中TreeMap的實現；
四、B/B+樹
說了上述的三種樹：二叉查詢樹、AVL和紅黑樹，似乎我們還沒有摸到MySQL為什麼要使用B+樹作為索引的實現，不要急，接下來我們就先探討一下什麼是B樹
（1）簡介
我們在MySQL中的資料一般是放在磁碟中的，讀取資料的時候肯定會有訪問磁碟的操作，磁當大規模資料儲存到磁碟中的時候，顯然是一個非常花費時間的過程，可以通過B樹進行優化，提高磁碟讀取時定位的效率。
為什麼B類樹可以進行優化呢？我們可以根據B類樹的特點，構造一個多階的B類樹，然後在儘量多的在結點上儲存相關的資訊，保證層數儘量的少，以便後面我們可以更快的找到資訊，磁碟的I/O操作也少一些，而且B類樹是平衡樹，每個結點到葉子結點的高度都是相同，這也保證了每個查詢是穩定的。與紅黑樹相比，在相同的的節點的情況下，一顆B/B+樹的高度遠遠小於紅黑樹的高度(在下面B/B+樹的效能分析中會提到)。B/B+樹上操作的時間通常由存取磁碟的時間和CPU計算時間這兩部分構成，而CPU的速度非常快，所以B樹的操作效率取決於訪問磁碟的次數，關鍵字總數相同的情況下B樹的高度越小，磁碟I/O所花的時間越少。
注意B-樹就是B樹
（2）B樹的性質
1、定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子，且M>2；
2、根結點的兒子數為[2, M]；
3、除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[M/2, M]；
4、每個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）
5、非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指標個數-1；
6、非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
7、非葉子結點的指標：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；
8、所有葉子結點位於同一層；
這裡只是一個簡單的B樹，在實際中B樹節點中關鍵字很多的，上面的圖中比如35節點，35代表一個key(索引)，而小黑塊代表的是這個key所指向的內容在記憶體中實際的儲存位置，是一個指標。
五、B+樹
（1）簡介
B+樹是應檔案系統所需而產生的一種B樹的變形樹（檔案的目錄一級一級索引，只有最底層的葉子節點（檔案）儲存資料）非葉子節點只儲存索引，不儲存實際的資料，資料都儲存在葉子節點中，這不就是檔案系統檔案的查詢嗎? 我們就舉個檔案查詢的例子：有3個資料夾a、b、c， a包含b，b包含c，一個檔案yang.c，a、b、c就是索引（儲存在非葉子節點）， a、b、c只是要找到的yang.c的key，而實際的資料yang.c儲存在葉子節點上。 所有的非葉子節點都可以看成索引部分
（2）B+樹的性質(下面提到的都是和B樹不相同的性質)
1、非葉子節點的子樹指標與關鍵字個數相同
2、非葉子節點的子樹指標p[i],指向關鍵字值屬於[k[i],k[i+1]]的子樹.(B樹是開區間,也就是說B樹不允許關鍵字重複,B+樹允許重複)；
3、為所有葉子節點增加一個鏈指標；
4、所有關鍵字都在葉子節點出現(稠密索引). (且連結串列中的關鍵字恰好是有序的)；
5、非葉子節點相當於是葉子節點的索引(稀疏索引),葉子節點相當於是儲存(關鍵字)資料的資料層；
6、更適合於檔案系統
非葉子節點（比如5，28，65）只是一個key（索引），實際的資料存在葉子節點上（5，8，9）才是真正的資料或指向真實資料的指標。
（3）應用
1、B和B+樹主要用在檔案系統以及資料庫做索引，比如MySQL；
六、B/B+樹效能分析
n個節點的平衡二叉樹的高度為H(即logn)，而n個節點的B/B+樹的高度為logt((n+1)/2)+1； 若要作為記憶體中的查詢表，B樹卻不一定比平衡二叉樹好，尤其當m較大時更是如此。因為查詢操作CPU的時間在B-樹上是O(mlogtn)=O(lgn(m/lgt))，而m/lgt>1；所以m較大時O(mlogtn)比平衡二叉樹的操作時間大得多。因此在記憶體中使用B樹必須取較小的m。（通常取最小值m=3，此時B-樹中每個內部結點可以有2或3個孩子，這種3階的B-樹稱為2-3樹）。
七、為什麼說B+樹比B樹更適合資料庫索引？
1、 B+樹的磁碟讀寫代價更低：B+樹的內部節點並沒有指向關鍵字具體資訊的指標，因此其內部節點相對B樹更小，如果把所有同一內部節點的關鍵字存放在同一盤塊中，那麼盤塊所能容納的關鍵字數量也越多，一次性讀入記憶體的需要查詢的關鍵字也就越多，相對IO讀寫次數就降低了。
2、B+樹的查詢效率更加穩定：由於非終結點並不是最終指向檔案內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。所以任何關鍵字的查詢必須走一條從根結點到葉子結點的路。所有關鍵字查詢的路徑長度相同，導致每一個資料的查詢效率相當。
3、由於B+樹的資料都儲存在葉子結點中，分支結點均為索引，方便掃庫，只需要掃一遍葉子結點即可，但是B樹因為其分支結點同樣儲存著資料，我們要找到具體的資料，需要進行一次中序遍歷按序來掃，所以B+樹更加適合在區間查詢的情況，所以通常B+樹用於資料庫索引。
PS：我在知乎上看到有人是這樣說的,我感覺說的也挺有道理的：
他們認為資料庫索引採用B+樹的主要原因是：B樹在提高了IO效能的同時並沒有解決元素遍歷的我效率低下的問題，正是為了解決這個問題，B+樹應用而生。B+樹只需要去遍歷葉子節點就可以實現整棵樹的遍歷。而且在資料庫中基於範圍的查詢是非常頻繁的，而B樹不支援這樣的操作或者說效率太低。