《編譯原理》LR 分析法與構造 LR(1) 分析表的步驟 - 例題解析
筆記
直接做題是有一些特定步驟，有技巧。但也必須先了解一些基本概念，本篇會通過例題形式解釋概念，會容易理解和記憶，以及解決類似問題。
如果只想做題可以直接下拉至習題部分。
（一）關於狀態
對於產生式 A→aBcD，就可以分解為下面幾個不同的識別狀態：
（1）A→.aBcD
（2）A→a.BcD
（3）A→aB.cD
（4）A→aBc.D
（5）A→aBcD.
“.” 的左部符號表示已被識別出來的那部分控制程式碼符號
狀態（1）表示：處於控制程式碼的頭
狀態（2）表示：已經識別出字元 a，等待 形成以 B 為產生式左部的右部
狀態（3）表示：剛剛進行了一次規約，即把關於 B 的產生式右部規約成 B
狀態（4）表示：已經識別出字元 c，等待 形成以 D 為產生式左部的右部
狀態（5）表示：已經到達控制程式碼的尾巴，可以把 aBcD 規約為產生式左部的符號 A
（二）什麼是 LR(k) 分析法？
字面意思理解：
| 字元 | 含義 |
|---|---|
| L | 表示 從左到右 掃描輸入串 |
| R | 表示利用 最右分析方法 來識別句子，即構造一個 最右推導的逆過程 |
| k | 表示向右檢視輸入串符號的個數 |
LR 分析過程是規範歸約的過程
規範規約是最右推導的逆過程，最右推導是規範推導，所以 最左規約是規範規約。
LR 分析法根據當前分析棧中的符號串和向右順序檢視輸入串的 k 個符號就可以唯一確定分析器的動作是移進還是歸約、利用那個產生式進行歸約。
當沒有指明 k 是幾的時候，預設為 1
（三）文法的拓廣？
文法的拓廣是對現有文法，新增一個 S'，並對文法進行展開。
例如：
對於文法 G[E]:
E → E+T|T
T → T*F|F
F → i|(E)
可以把它拓廣為
文法 G[E']:
E' → E
E → E+T|T
T → T*F|F
F → i|(E)
此時可能會有疑問，不就是加了個開始符號，有什麼意義呢？為什麼要再加個開始符號呢？
加開始符號是為了狀態的表示，這樣原來的 S 會成為右部，可以表示 .S 和 S.
那同一非終結符的右部有多種情況為什麼不展開呢？
這裡是說拓廣文法，是新增開始符號，可以展開可以不展開，但是一般預設要展開，一般一道題不會只讓求拓廣文法，而是為了後面。一般題目中是說 “求該文法的拓廣文法並編號”，此時請一定要展開。展開後應該是這樣：
1.E'→E
2.E → E+T
3.E → T
4.T → T*F
5.T → F
6.F → i
7.F → (E)
（四）什麼是專案？專案有哪些分類？等價狀態？
上面提到拓廣文法，展開，以及編號。
先看例題：
對於文法 G[S]:
S → vI:T
I → I,i
I → i
T → r
可以把它拓廣並編號，如下：
文法 G[S']:
1.S' → S
2.S → vI:T
3.I → I,i
4.I → i
5.T → r
它的全部 LR(0) 專案，如下：
1.S' → .S
2.S' → S.
3.S → .vI:T
4.S → v.I:T
5.S → vI.:T
6.S → vI:.T
7.S → vI:T.
8.I → .I,i
9.I → I.,i
10.I → I,.i
11.I → I,i.
12.I → .i
13.I → i.
14.T → .r
15.T → r.
對上面 LR(0) 專案進行分類
| 型別 | 包含 | 特點 |
|---|---|---|
| 規約專案 | 2, 7, 11, 13, 15 | . 在右部的末尾 |
| 接收專案 | 2 | . 在開始符號的末尾 |
| 移進專案 | 3, 5, 9, 10, 12, 14 | . 後面跟著終結符，表移進 |
| 待約專案 | 1, 4, 6, 8 | . 後面跟著非終結符，表等待後面非終結符的規約，簡稱待約 |
誰和誰是等價狀態？
例如：
待約專案 4 即 S→v.I:T 它的含義是等待棧頂規約出 I，但尚未識別對應 I 的那些控制程式碼的任何符號；
專案 8 即 I→.I,i 和專案 12 即 I→.i 的含義也是期待棧頂形成 I 的控制程式碼，所以這三個專案的含義是一樣的，即 4, 8, 12 三個狀態是等價的。
同理：專案 6 即 S → vI:.T 和專案 14 即 T → .r 也是等價的
為什麼它們是等價狀態？怎麼判斷等價狀態？
上面有說因為他們表示的含義是一樣的，並且會發現等價肯定涉及至少一個待約專案，以及一個 . 在最左端的移進專案。
這是因為，待約專案是 . 後面跟非終結符，這個 . 是在非終結符的前面；當存在該非終結符的產生式時，且 . 在最左端的時候。因為 . 在最左端，其實也是相當於在該非終結符的前面。所以是一個等價的狀態。
（五）LR 分析表介紹
LR 分析器的關鍵部分是 分析表的構造。分析表有以下幾種：
規範的 LR 分析表：
- LR(0)，能力最弱，侷限性較大，但理論上最重要。
- LR(1)，它功能最強，但代價也最大。
簡單的 LR 分析表：
- 簡稱 SLR ，最容易實現，但功能最弱。
向前看的 LR 分析表：
- 簡稱 LALR，功能和代價處於前兩者之間，適用於絕大多數程式語言的文法
總結： LR(0) 功能最弱，功能弱是說當文法中產生式比較複雜，出現某些問題時，無法解決。這些問題一部分可以由 SLR 分析法解決。但還有一部分 SLR 解決不了，可以用 LR(1) 來解決。
（六）關於 “展望”
在規範歸約過程中，一方面記住已移進和歸約出的整個符號串，即記住 “歷史”，另一方面根據所用的產生式推測未來可能碰到的輸入符號，即對未來進行 “展望”。
當一串貌似控制程式碼的符號串呈現於分析棧的頂端時，根據所記載的 “歷史” 和 “展望” 材料，來確定棧頂的符號串是否構成控制程式碼。
為了記住分析的 “歷史” 和彙集 “展望” 的資訊，LR 分析法這樣處理：
將歸約過程的 “歷史” 和 “展望” 材料綜合抽象成某些狀態，存放在一個狀態棧中，棧中每個狀態都概括了從分析開始直到某一歸約階段的全部“歷史”和“展望”材料。
LR(1) 分析法這樣處理：
首先，明白了在 LR(1) 分析法中展望是為了解決其他分析法解決不了的問題。簡單的說就是，狀態會出現衝突，我們不能只通過後 1 個輸入串符號，直接確定選用哪個產生式，這是嚴重的錯誤。
所以 展望 是通過展望後面的內容，所以展望對應的終結符，應該 屬於該非終結符的 FOLLOW 集（確切的說，屬於 FOLLOW 集中的具體哪個個終結符，應該根據產生式的推導過程確定，通過語法樹來分析，是最直觀的方法），來幫助唯一確定選擇產生式。
在 LR(1) 中，用
狀態, 終結符
例如：S' → # （#表示開始符號FOLLOW集會提到那個符號，有的地方用 $，是一樣的 ）
這種形式是表式展望，終結符就是展望的後面的終結符，具體的下面例題中還會提到。
（七）終極例題 - LR(1) 分析表的構造
給定文法 G[S]：
S→L=R | R
L→*R | id
R→L
回答以下問題：
（1）文法的拓廣並編號
（2）LR(1) 專案集規範族所對應的識別活字首的 DFA
（3）構造 LR(1) 分析表
解析：
1）文法的拓廣並編號：
拓廣文法 G[S']：
（0）S'→S
（1）S→L=R
（2）S→R
（3）L→*R
（4）L→id
（5）R→L
2）LR(1) 專案集規範族所對應的識別活字首的 DFA*
這裡就涉及到 “展望” 這個知識點了
（圖片來源：中國大學慕課 -《編譯原理》哈爾濱工業大學 陳老師）
該 DFA 有窮自動機的解釋：
（1）這樣表示形式就是自動機，每個方框表示一個狀態，從 I0 到 I13 所以共有 14 個狀態。
（2）每個狀態中包含的多個專案，都是等價的。
（3）每個專案中逗號後面的終結符或者 # 表示展望的終結符。
（4）關於畫出 DFA 的步驟：
- 以 I0 為例，首先對於 0 號產生式 S' → S，可知應該有 S' → .S 和 S' → S. 兩個狀態，因為 S' 是開始符號，展望是屬於 FOLLOW 集的，展望應該是 #，可以得出 S' → .S, #
- 因為 .S 表示等待規約出 S 的狀態。並且 S→L=R，所以 .S 和 .L=R 是兩個等價的狀態。但需要注意的是此時的 FOLLOW 集應該 S 的 FOLLOW 集，而不是 L 的，也不 R 的
- 同理，因為有 S→R，則 .S 和 .R 是兩個等價的狀態。
- 有了 .R，應該繼續去找 R 為左部的產生式，因為有 R→L，所以 .S 和 .L 是兩個等價的狀態。
- 注意： 在找 R 的展望終結符時，展望 是通過展望後面的內容，所以展望對應的終結符，應該 屬於該非終結符的 FOLLOW 集（確切的說，屬於 FOLLOW 集中的具體哪個個終結符，應該根據產生式的推導過程確定，通過語法樹來分析，是最直觀的方法）
（圖片來源：中國大學慕課 -《編譯原理》哈爾濱工業大學 陳老師）
可以看出來 R 的展望應該有兩種情況，一個是 =，一種是 #
但此時，我們通過 S → R 找到的 R，所以應該是 #
不斷迴圈通過，將 . 後移，判斷下一個狀態，找出等價狀態，直到判斷完成。
3）構造 LR(1) 分析表
根據自動機即可構造 LL(1) 分析表：
（圖片來源：中國大學慕課 -《編譯原理》哈爾濱工業大學 陳老師）
LL(1) 分析表解釋補充：
（1）內容 LL(1) 分析表 = 動作表 (ACTION) + 狀態轉移表(GOTO)
（2）動作表 中的每一個元素 ACTION[S,a] 規定了當 棧頂狀態 為 S，且面臨輸入符號 a 時應採取的動作。根據自動機中的終結符邊可判斷。
（3）狀態轉換表 中的每一個元素 GOTO[S,x] 規定了當狀態 S 面對文法符號位 x 時的下一個狀態。根據自動機中的非終結符邊可判斷。
（4）動作表 的列對應所有終結符加上 #
（5）狀態轉換表 的列對應所有非終結符，不包括 S'，因為 S 就是開始符號，S' 是為了使 “接收狀態” 易於識別，所引入的。
（6）動作表 中例如：
- ACTION[0, *] 的 S4 表示移進，入棧，就是當前狀態為 0，當輸入串為 ，則將狀態 4 移進狀態棧，將 移進文法符號棧
- ACTION[5, =] 的 r4 表示符合產生式 4，將棧頂符號 = 規約為產生式左部
- acc 表示接收
（7）狀態轉換表 中例如：
- GOTO[0, S] 的 數字為 1 表示轉入 1 狀態，置當前文法符號棧頂為 S，棧頂狀態為 1
總結
易錯點：
- 求 展望對應的終結符 是通過展望後面的內容，所以展望對應的終結符，應該 屬於該非終結符的 FOLLOW 集（確切的說，屬於 FOLLOW 集中的具體哪個個終結符，應該根據產生式的推導過程確定，通過語法樹來分析，是最直觀的方法）
- 各教材描述可能存在差異，但思想是相同的
- 比如 $ 和 #
- 比如展望終結的表示方法，有的分開寫，有的直接用或