1.樹的抽象資料型

  與二叉樹一樣，在樹上規定如下基本操作，可以把樹定義成抽象資料型。

• Parent(n,T)：返回樹T結點n的父親。若n是根，則返回空。
• LeftMostChild(n,T)：返回樹T結點的最左兒子。
• RightSibling(n,T)：返回樹T結點n的右兄弟。
• Data(n,T)：返回樹T結點n的DATA域的值。
• Create(v,T1,T2,…,Tk
  v,T_1,T_2,…,T_k
  )：建立DATA域為v的根結點r，此結點有k顆子樹T1,T2,…,Tk
  T_1,T_2,…,T_k
  ，且T1,T2,…,Tk
  T_1,T_2,…,T_k
  是自左而右排列的。返回以r為根的樹；若k=0，則r既是根也是葉結點。
• Root(T)：返回樹T的根結點。

  通常可以對樹定義3種遍歷順序，假設各子樹記為T1,T2,…,Tk

。則樹的遍歷定義如下：

  （1）先根順序

• 訪問根結點。
• 先根順序遍歷T1
  T_1
• 先根順序遍歷T2
  T_2
  
  …
• 先根順序遍歷Tk
  T_k
• 退出

  （2）中根順序

• 中根順序遍歷T1
  T_1
• 訪問根結點。
• 中根順序遍歷T2
  T_2
  
  …
• 中根順序遍歷Tk
  T_k
• 退出

  （3）後根順序

• 後根順序遍歷T1
  T_1
• 後根順序遍歷T2
  T_2
  
  …
• 後根順序遍歷Tk
  T_k
• 訪問根結點。
• 退出

  樹的先根遍歷演算法：

void PreOrder(node n,TREE T)
/*按先根順序列出樹T中結點n及其所有後代的資料域的值*/
{
    node c;
    visit(Data(n,T));
    c=LeftMostChild(n,T);
    while(c!=NULL)
    {
        PreOrder(c,T);
        c=RightSibling(c,T);
    }
}

  如果要按先跟順序遍歷整棵樹T，則只要呼叫PreOrder(Root(T),T)即可。

2.樹的表示

樹的陣列表示

  設T是一棵樹，其中的結點命名為1，2，3，…，n。根據樹中每個結點只有一個父親這個特性，可用陣列A來表示樹T。令陣列的下標對應於結點名，陣列元素A[i]定義如下：

  這種表示法除根結點外，每個結點只有一個指向其父親結點的鏈域。所以有時把這種表示法稱為樹的父連結串列示法或單連結串列示法。

  一般來說，Parent(i)=A[i]。陣列元素由parent和data兩個域構成。可以把上圖表示的樹的結構描述為：

struct node
{
    int parent;
    char data;
};
typedef node TREE[11];
TREE T;

  這種只有父鏈的表示方法，對於求父結點及祖先結點都很方便。但對於給定的結點n，欲求其子結點的資訊相當困難，也不能反映各兄弟結點的順序。但是如果在給結點命名時，可按照這樣一種順序：對每個結點n，在對n進行編號之後，按自左而右遞增的順序依次對n的兒子進行編號。在此假設之下，將很容易實現RightSibling和LeftMostChild。

typedef int node;
typedef node TREE[maxnodes];
node LeftMostChild(node n,TREE T)
{
    node i;
    for(i=n+1;i<=maxnodes-1;i++)
        if(T[i]==n)
            return i;
    return 0;
｝

樹的鄰接表表示

  樹的一種重要表示法是每個結點的所有子結點形成一個線性表，但因每個結點所具有的子結點個數不同，所以通常都採用連結式表示。
  上圖中的樹為例可以表示為下圖所示。其中有一個陣列header，每一個陣列元素header[i]是一個表頭結點，指向結點i的兒子結點連結串列的首結點。對於每個結點i，由header[i]出發，可以很容易地將其全部兒子結點找到。

  鄰接表的型別說明：

typedef int node;
struct celltype
{
    node element;
    celltype *next;
};
typedef celltype *LIST;
typedef celltype *position;
struct TREE
{
    LIST header[maxnodes];
    datatype data[maxnodes];
    node root;
};

  用樹的這種表示法實現LeftMostChild操作：

node LeftMostChild(node n ,TREE T)
{
    LIST L;
    L=T.header[n];
    if(Empty(L))
        return 0;
    else
        return(Retrieve(First(L),L));
}

樹的左右連結串列示法

  通常，可以按照其自然形式，令每個結點除其資訊域外，設定多個鏈域，使它們指向相應的兒子結點，但這樣會使每個結點佔用的空間較多。為了節省每個結點所佔用的空間，在每個結點中只設定兩個鏈域，令左鏈指向最左兒子，右鏈指向緊挨它的右兄弟，樹的這種儲存表示方法稱為樹的左右連結串列示法，也稱為樹的左兄弟右兒子表示法或者樹的二叉連結串列表示法。這種表示法很容易實現由較小的樹來構造較大的樹。

  其儲存結構為：

struct 
{
    datatype data;
    int leftchild;
    int rightsibling;
}cellspace[maxnodes];

  用樹的左右連結串列示法，很容易實現除Parent操作以外的各種操作。如果希望有效地實現Parent操作，即快速地找到一個結點的父結點，則在每個結點中增加指向父結點的鏈域。

struct
{
    datatype data;
    int leftchild;
    int rightsibling;
    int parent;
}cellspace[maxnodes];

  此外，還可以選擇這樣一種結構：令最右兒子的rightsibling域指向右父親，於是必須對每個結點增加一個標誌位，用於區別其rightsibling域是指向兄弟還是指向父親。在求一個結點的父親時，只需沿著rightsibling域查到虛線的指向即可。這比在每一個結點中增加parent域可節省控制元件，但花費的時間稍多一些。

• 樹不能為空的理由
  

  如果在設計的體系中定義了森林，同夥私又允許樹為空， 那麼由於森林是由若干顆樹構成的，很可能出現一個集合（森林）包含許多空集（樹），或者一個空集（森林）包含許多個空集（樹）的情況。如果允許樹為空，則很難確定森林中的一顆空樹對應於什麼樣的二叉樹，兩顆空樹對應於什麼樣的二叉樹。

3.樹的實現

原始碼參見樹的實現