（11.2）James Stewart Calculus 5th Edition：Series

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Series 級數

類似

這樣的數列，叫做 ** infinite series 無限級數** （或者 series 級數）
（這裡，為什麼要翻譯成 級數...， 不翻譯成 系列，連續數 ？？... 我也是服了 ，在名詞上，總是讓人感到）

可以簡單寫成：

或者

一些級數的和
例如：

我們可以得到（過程略）
n(n + 1) / 2

再例如：

通過表格，我們可以知道

所以，我們可以得到，當n為無窮大的時候，有

當然，n有限的時候
可以理解為 partial sums 部分和

可以簡單寫成

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convergent 收斂 和 divergent 發散

當然，還有一種寫法：

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例子1 geometric series 幾何級數（也就是 等比數列）

（自己看見一個東西，在不同的課本，叫不同的名字， 其實 第一感覺，就是讓人鬱悶， 為什麼知識這樣的東西， 沒有一個總的調整，:-( 中國不缺人才，只缺為人才考慮的人）

求法也很簡單

相乘後，交叉相減即可

當 -1 < r < 1 的時候，

其他時候，發散

也就是：

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例子2

很容易發現，對應的比例 r = - 2/3
我們知道， |r| < 1
所以，收斂

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例子3

我們簡單變化，有：

這個時候，我們知道 4/3 > 1
所以，級數 是 發散的

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例子4

我們可以把它變化成：

求對應的級數和：

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例子5

根據公式，直接有：

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例子6

相信，這是小學最常見不過的奧數題了
一般課本，初中也經常出現
（感覺中國最常見的是， 總是用複雜的東西，去考下面的人，最後生活中，又不去應用...）

題目，其實就是：

由：

可得：

所以，

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例子7 (harmonic series 調和級數)

這裡要證明是發散的，
雖然不好直接證明，但是可以縮小以後，證明縮小的是發散的

所以：

所以，我們可以得到對應的值，是 無窮大的
所以是 divergent 發散的

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理論

不證明了，簡單貼一下過程：

簡單的推導

一些級數的加減乘除

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例子９

單獨求以後，相加即可

又由：

所以，我們簡單連線有：