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前面幾節介紹了Java中的基本容器類，每個容器類背後都有一種資料結構，ArrayList是動態陣列，LinkedList是連結串列，HashMap/HashSet是雜湊表，TreeMap/TreeSet是紅黑樹，本節介紹另一種資料結構 - 堆。
引入堆
之前我們提到過堆，那裡，堆指的是記憶體中的區域，儲存動態分配的物件，與棧相對應。這裡的堆是一種資料結構，與記憶體區域和分配無關。
堆是什麼結構呢？這個我們待會再細看。我們先來說明，堆有什麼用？為什麼要介紹它？
堆可以非常高效方便的解決很多問題，比如說：
- 優先順序佇列，我們之前介紹的佇列實現類LinkedList是按新增順序排隊的，但現實中，經常需要按優先順序來，每次都應該處理當前佇列中優先順序最高的，高優先順序的，即使來得晚，也應該被優先處理。
- 求前K個最大的元素，元素個數不確定，資料量可能很大，甚至源源不斷到來，但需要知道到目前為止的最大的前K個元素。這個問題的變體有：求前K個最小的元素，求第K個最大的，求第K個最小的。
- 求中值元素，中值不是平均值，而是排序後中間那個元素的值，同樣，資料量可能很大，甚至源源不斷到來。
堆還可以實現排序，稱之為堆排序，不過有比它更好的排序演算法，所以，我們就不介紹其在排序中的應用了。
Java容器中有一個類PriorityQueue，就表示優先順序佇列，它實現了堆，下節我們會詳細介紹。關於後面兩個問題，它們是如何使用堆高效解決的，我們會在接下來的幾節中用程式碼實現並詳細解釋。
說了這麼多好處，堆到底是什麼呢？
堆的概念
完全二叉樹
堆首先是一顆二叉樹，但它是完全二叉樹。什麼是完全二叉樹呢？我們先來看另一個相似的概念，滿二叉樹。
滿二叉樹是指，除了最後一層外，每個節點都有兩個孩子，而最後一層都是葉子節點，都沒有孩子。比如，下圖兩個二叉樹都是滿二叉樹。
滿二叉樹一定是完全二叉樹，但完全二叉樹不要求最後一層是滿的，但如果不滿，則要求所有節點必須集中在最左邊，從左到右是連續的，中間不能有空的。比如說，下面幾個二叉樹都是完全二叉樹：
而下面的這幾個則都不是完全二叉樹：
編號與陣列儲存
在完全二叉樹中，可以給每個節點一個編號，編號從1開始連續遞增，從上到下，從左到右，如下圖所示：
完全二叉樹有一個重要的特點，給定任意一個節點，可以根據其編號直接快速計算出其父節點和孩子節點編號，如果編號為i，則父節點編號即為i/2，左孩子編號即為2*i,右孩子編號即為2*i+1。比如，對於5號節點，父節點為5/2即2，左孩子為2*5即10，右孩子為2*5+1即11。
這個特點為什麼重要呢？它使得邏輯概念上的二叉樹可以方便的儲存到陣列中，陣列中的元素索引就對應節點的編號，樹中的父子關係通過其索引關係隱含維持，不需要單獨保持。比如說，上圖中的邏輯二叉樹，儲存到陣列中，其結構為：
這種儲存二叉樹的方法與之前介紹的TreeMap是不一樣的，在TreeMap中，有一個單獨的內部類Entry，Entry有三個引用，分別指向父節點、左孩子、右孩子。
使用陣列儲存，優點是很明顯的，節省空間，訪問效率高。
最大堆/最小堆
堆邏輯概念上是一顆完全二叉樹，而物理儲存上使用陣列，除了這兩點，堆還有一定的順序要求。
之前介紹過排序二叉樹，排序二叉樹是完全有序的，每個節點都有確定的前驅和後繼，而且不能有重複元素。
與排序二叉樹不同，在堆中，可以有重複元素，元素間不是完全有序的，但對於父子節點之間，有一定的順序要求，根據順序分為兩種堆，一種是最大堆，另一種是最小堆。
最大堆是指，每個節點都不大於其父節點。這樣，對每個父節點，一定不小於其所有孩子節點，而根節點就是所有節點中最大的，對每個子樹，子樹的根也是子樹所有節點中最大的。
最小堆與最大堆正好相反，每個節點都不小於其父節點。這樣，對每個父節點，一定不大於其所有孩子節點，而根節點就是所有節點中最小的，對每個子樹，子樹的根也是子樹所有節點中最小的。
我們看下圖示：
堆概念總結
總結來說，邏輯概念上，堆是完全二叉樹，父子節點間有特定順序，分為最大堆和最小堆，最大堆根是最大的，最小堆根是最小的，堆使用陣列進行物理儲存。
這個資料結構為什麼就可以高效的解決之前我們說的問題呢？在回答之前，我們需要先看下，如何在堆上進行資料的基本操作，在操作過程中，如何保持堆的屬性不變。
堆的演算法
下面，我們來看下，如何在堆上進行資料的基本操作。最大堆和最小堆的演算法是類似的，我們以最小堆來說明。先來看如何新增元素。
新增元素
如果堆為空，則直接新增一個根就行了。我們假定已經有一個堆了，要在其中新增元素。基本步驟為：
- 新增元素到最後位置。
- 與父節點比較，如果大於等於父節點，則滿足堆的性質，結束，否則與父節點進行交換，然後再與父節點比較和交換，直到父節點為空或者大於等於父節點。
我們來看個例子。下面是初始結構：
新增元素3，第一步後，結構變為：
3小於父節點8，不滿足最小堆的性質，所以與父節點交換，會變為：
交換後，3還是小於父節點6，所以繼續交換，會變為：
交換後，3還是小於父節點，也是根節點4，繼續交換，變為：
這時，調整就結束了，樹保持了堆的性質。
從以上過程可以看出，新增一個元素，需要比較和交換的次數最多為樹的高度，即log2(N)，N為節點數。
這種自低向上比較、交換，使得樹重新滿足堆的性質的過程，我們稱之為siftup。
從頭部刪除元素
在佇列中，一般是從頭部刪除元素，Java中用堆實現優先順序佇列，我們來看下如何在堆中刪除頭部，其基本步驟為：
- 用最後一個元素替換頭部元素，並刪掉最後一個元素。
- 將新的頭部與兩個孩子節點中較小的比較，如果不大於該孩子節點，則滿足堆的性質，結束，否則與較小的孩子進行交換，交換後，再與較小的孩子比較和交換，一直到沒有孩子，或者不大於兩個孩子節點。這個過程我們般稱為siftdown。
我們來看個例子。下面是初始結構：
執行第一步，用最後元素替換頭部，會變為：
現在根節點16大於孩子節點，與更小的孩子節點6進行替換，結構會變為：
16還是大於孩子節點，與更小的孩子8進行交換，結構會變為：
此時，就滿足堆的性質了。
從中間刪除元素
那如果需要從中間刪除某個節點呢？與從頭部刪除一樣，都是先用最後一個元素替換待刪元素。不過替換後，有兩種情況，如果該元素大於某孩子節點，則需向下調整(siftdown)，否則，如果小於父節點，則需向上調整(siftup)。
我們來看個例子，刪除值為21的節點，第一步如下圖所示：
替換後，6沒有子節點，小於父節點12，執行向上調整siftup過程，最後結果為：
我們再來看個例子，刪除值為9的節點，第一步如下圖所示：
交換後，11大於右孩子10，所以執行siftdown過程，執行結束後為：
構建初始堆
給定一個無序陣列，如何使之成為一個最小堆呢？將普通無序陣列變為堆的過程我們稱之為heapify。
基本思路是，從最後一個非葉子節點開始，一直往前直到根，對每個節點，執行向下調整siftdown。換句話說，是自底向上，先使每個最小子樹為堆，然後每對左右子樹和其父節點合併，調整為更大的堆，因為每個子樹已經為堆，所以調整就是對父節點執行siftdown，就這樣一直合併調整直到根。這個演算法的虛擬碼是：
void heapify() {
for (int i=size/2; i >= 1; i--)
siftdown(i);
}
複製程式碼size表示節點個數, 節點編號從1開始，size/2表示第一個非葉節點的編號。
這個構建的時間效率為O(N)，N為節點個數，具體就不證明了。
查詢和遍歷
在堆中進行查詢沒有特殊的演算法，就是從陣列的頭找到尾，效率為O(N)。
在堆中進行遍歷也是類似的，堆就是陣列，堆的遍歷就是陣列的遍歷，第一個元素是最大值或最小值，但後面的元素沒有特定的順序。
需要說明的是，如果是逐個從頭部刪除元素，堆可以確保輸出是有序的。
演算法小結
以上就是堆操作的主要演算法：
- 在新增和刪除元素時，有兩個關鍵的過程以保持堆的性質，一個是向上調整(siftup)，另一個是向下調整(siftdown)，它們的效率都為O(log2(N))。由無序陣列構建堆的過程heapify是一個自底向上迴圈的過程，效率為O(N)。
- 查詢和遍歷就是對陣列的查詢和遍歷，效率為O(N)。
小結
本節介紹了堆這一資料結構的基本概念和演算法。
堆是一種比較神奇的資料結構，概念上是樹，儲存為陣列，父子有特殊順序，根是最大值/最小值，構建/新增/刪除效率都很高，可以高效解決很多問題。
但在Java中，堆到底是如何實現的呢？本文開頭提到的那些問題，用堆到底如何解決呢？讓我們在接下來的幾節中繼續探索。
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