07SVM-軟間隔模型

六、硬間隔和軟間隔模型

之前兩章介紹的內容是硬間隔模型：
《05 SVM – 支援向量機 – 概念、線性可分》
《06 SVM – 線性可分SVM演算法和案例》

線性可分SVM中要求資料必須是線性可分的，才可以找到分類的超平面，但是有的時候線性資料集中存在少量的異常點，由於這些異常點導致了資料集不能夠線性劃分；直白來講就是：正常資料本身是線性可分的，但是由於存在異常點資料，導致資料集不能夠線性可分；

如果線性資料中存在異常點導致沒法直接使用SVM線性分割模型的時候，我們可以通過引入__軟間隔__的概念來解決這個問題；

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__硬間隔：__可以認為線性劃分SVM中的距離度量就是硬間隔，線上性劃分SVM中，要求函式距離一定是大於1的，最大化硬間隔條件為：

軟間隔： SVM對於訓練集中的每個樣本都引入一個鬆弛因子(ξ)，使得函式距離加上鬆弛因子後的值是大於等於1；這表示相對於硬間隔，對樣本到超平面距離的要求放鬆了。

鬆弛因子(ξ)越大，表示樣本點離超平面越近。如果鬆弛因子大於1，那麼表示允許該樣本點分錯。

所以說加入鬆弛因子是有成本的，過大的鬆弛因子可能會導致模型分類錯誤，所以最終的目標函式就轉換成：

__PS：__函式中的C>0是懲罰引數，是一個超引數，類似L1/L2 norm的引數；C越大表示對誤分類的懲罰越大，C越小表示對誤分類的懲罰越小；C值的給定需要調參。

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優化損失函式的公式推導：

1、同線性可分SVM，構造軟間隔最大化的約束問題對應的拉格朗日函式如下：

2、從而將我們的優化目標函式轉換為：

3、優化目標同樣滿足KKT條件，所以使用拉格朗日對偶將優化問題轉換為等價的對偶問題：

4、先求優化函式對於w、b、ξ的極小值，這個可以通過分別對優化函式L求w、b、ξ的偏導數得，從而可以得到w、b、ξ關於β和μ之間的關係。

5、將w、b、ξ的值帶入L函式中，就可以消去優化函式中的w、b、ξ，定義優化之後的函式如下：

6、最終優化後的目標函式/損失函式和線性可分SVM模型基本一樣，除了約束條件不同而已， 也就是說也可以使用SMO演算法來求解。

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硬間隔和軟間隔模型小結：

在__硬間隔__最大化的時候，支援向量比較簡單，就是離超平面的函式距離為1的樣本點就是支援向量。

在__軟間隔__中，根據KKT條件中的對偶互補條件: β(y(wx+b)-1+ξ)=0，從而有：當0<βi≤C的時候，並且ξi=0的樣本點均是支援向量(即所有的0<βi

PS： 軟間隔和硬間隔中的支援向量的規則是一樣的；

08 SVM – 軟間隔模型演算法流程